Question

已知圓F₁：（x+1）²+y²=16，定點F₂（1，0），動圓過點F₂，且與圓F₁相內(nèi)切．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）若過原點的直線l與（1）中的曲線C交于A，B兩點，且△ABF₁的面積為

3

2

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出M的半徑，依據(jù)題意列出關(guān)系MF₁+MF₂=4，可求軌跡C的方程．
（2）根據(jù)橢圓性質(zhì)以及△ABF₁的面積為

3

2

，可以求得A、B的坐標，再求直線l的方程．

解答：解：（1）設(shè)圓M的半徑為r．
因為圓過點F₂，且與圓F₁相內(nèi)切．
所以MF₂=r，
所以MF₁=4-MF₂，即：MF₁+MF₂=4，
所以點M的軌跡C是以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓且設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
其中2a=4，c=1，所以a=2，b=

3

，
所以曲線C的方程

x2

4

+

y2

3

=1．

（2）因為直線l過橢圓的中心，由橢圓的對稱性可知，S△ABF1=2S△aoF1，
因為S△ABF1=

3

2

，所以S△AOF1=

3

4

．
不妨設(shè)點A（x₁，y₁）在x軸上方，則S△AOF1=

1

2

•OF1•y1=

3

4

．
所以y1=

3

2

，x1=±

3

，即：點A的坐標為(

3

，

3

2

)或(-

3

，

3

2

)．
所以直線l的斜率為±

1

2

，故所求直線方和程為x±2y=0．

點評：本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，橢圓的定義，是中檔題．