Question

在數列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2，n∈N^*）．
（1）試判斷數列是否成等差數列；
（2）設{b_n}滿足b_n=，求數列{b_n}的前n項和S_n；
（3）若λa_n+≥λ對任意n≥2的整數恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵數列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2，n∈N^*），
∴a_n-1-a_n=3a_na_n-1，
∴（n≥2）．
故數列{}是等差數列．
（2）由（1）的結論可得b_n==1+（n-1）×3，
所以b_n=3n-2，
∴S_n==．
（3）將a_n==代入λa_n+≥λ并整理得λ（1-）≤3n+1，
∴λ≤，
原命題等價于該式對n≥2恒成立．
設C_n=，
則C_n+1-C_n=＞0，C_n+1＞C_n，
∵n=2時，C_n的最小值C₂為，
∴λ的取值范圍是（-∞，]．
分析：（1）由已知可得（n≥2）．由此能夠證明數列{}是等差數列．
（2）由（1）的結論可得b_n==1+（n-1）×3，所以b_n=3n-2，由此能求出S_n．
（3）將a_n==代入λa_n+≥λ，并整理得λ（1-）≤3n+1，故λ≤，原命題等價于該式對n≥2恒成立．由此能夠求出實數λ的取值范圍．
點評：本題考查等差數列的判斷、數列前n項和公式的求法和求實數λ的取值范圍．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．