Question

求下列函數(shù)的定義域、值域及單調(diào)性．
（1）y=（

1

2

）6+x-2x²；
（2）y=（

2

3

）^-|x|．

Answer 1

分析：（1）由題令u=6+x-2x²，則y=（

1

2

）^u．則函數(shù)為單調(diào)遞減的指數(shù)函數(shù)，u為二次函數(shù)，則求出u的最大值得到y(tǒng)的最小即可求出值域，定義域?yàn)镽，u的對(duì)稱軸求出，在對(duì)稱軸左邊函數(shù)增函數(shù)，右邊為減函數(shù)，在根據(jù)復(fù)合函數(shù)求出y的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）y為指數(shù)函數(shù)定義域?yàn)镽，且為單調(diào)遞減，|x|最小值為0，分x大于0，小于0，等于0以及y為偶函數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答：解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，
令u=6+x-2x²，則y=（

1

2

）^u．
∵二次函數(shù)u=6+x-2x²=-2（x-

1

4

）²+

49

8

，
∴函數(shù)的值域?yàn)閧y|y≥（

1

2

）

49

8

}．
又∵二次函數(shù)u=6+x-2x²的對(duì)稱軸為x=

1

4

，
在[

1

4

，+∞）上u=6+x-2x²是減函數(shù)，
在（-∞，

1

4

]上是增函數(shù)，又函數(shù)y=（

1

2

）^u是減函數(shù)，
∴y=（

1

2

）6+x-2x²在[

1

4

，+∞）上是增函數(shù)，
在（-∞，

1

4

]上是減函數(shù)．
（2）定義域?yàn)閤∈R．
∵|x|≥0，∴y=（

2

3

）^-|x|=（

3

2

）^|x|≥（

3

2

）⁰=1．
故y=（

2

3

）^-|x|的值域?yàn)閧y|y≥1}．
又∵y=（

2

3

）^-|x|是偶函數(shù)，
且y=（

2

3

）^-|x|=

( 3 2 )x(x≥0) ( 2 3 )x(x＜0)

所以函數(shù)y=（

2

3

）^-|x|在（-∞，0]上是減函數(shù)，在[0，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)理解函數(shù)定義域即求法的能力，以及掌握指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，求指數(shù)函數(shù)的定義域和值域的能力．