Question

11．在直角坐標系xOy中，點P為曲線C：x²+y²-2x-2y=0上一點，點M為線段OP中點，以坐標原點為極點，x軸非負半軸為極軸，建立極坐標系．
（Ⅰ）求點M軌跡E的極坐標方程；
（Ⅱ）直線l₁：y=$\sqrt{3}$x，l₂：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x與軌跡E的交點分別為A，B，求△AOB的周長．

Answer 1

分析 （I）設M（x，y），則P（2x，2y），代入曲線C可得點M軌跡E的直角坐標方程，利用互化公式化為極坐標方程．
（II）由直線l₁：y=$\sqrt{3}$x，l₂：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，可得：θ₁=$\frac{π}{3}$，θ₂=$\frac{2π}{3}$．分別代入極坐標方程可得|OA|=ρ₁，|OB|=ρ₂．利用余弦定理可得|AB|，即可得出．

解答 解：（I）設M（x，y），則P（2x，2y），
代入曲線C可得：4x²+4y²-4x-4y=0，
化為x²+y²-x-y=0，即為點M軌跡E的直角坐標方程，
化為極坐標方程ρ²-ρcosθ-ρsinθ=0，
可得：ρ=cosθ+sinθ．
（II）由直線l₁：y=$\sqrt{3}$x，l₂：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
可得：θ₁=$\frac{π}{3}$，θ₂=$\frac{2π}{3}$．
∴ρ₁=$cos\frac{π}{3}+sin\frac{π}{3}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．
ρ₂=$cos\frac{2π}{3}$+$sin\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
|AB|=$\sqrt{（\frac{1+\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}-1}{2}）^{2}-2×\frac{1+\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}-1}{2}×cos\frac{π}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴△AOB的周長C=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}$=$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標的互化、余弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．