Question

18．如圖，在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是邊長為2的正方形，若$∠{A_1}AB=∠{A_1}AD={60^0}$，且A₁A=3，則A₁C的長為$\sqrt{17}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=$\overrightarrow{{A}_{1}A}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$，利用向量法能求出A₁C的長．

解答 解：在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是邊長為2的正方形，
$∠{A_1}AB=∠{A_1}AD={60^0}$，且A₁A=3，
$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=$\overrightarrow{{A}_{1}A}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}$²=${\overrightarrow{{A}_{1}A}}^{2}$+${\overrightarrow{AB}}^{2}$+${\overrightarrow{BC}}^{2}$+2$\overrightarrow{{A}_{1}A}•\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{{A}_{1}A}•\overrightarrow{BC}$
=9+4+4+2×3×2×cos120°+2×3×2×cos60°=17，
∴A₁C的長為$\sqrt{17}$．
故答案為：$\sqrt{17}$．

點評 本題考查線段長的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．