Question

已知：如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2．
（Ⅰ）求證：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）若E是PD的中點(diǎn)，求異面直線AE與PC所成角的余弦值；
（Ⅲ）在BC邊上是否存在一點(diǎn)G，使得D點(diǎn)到平面PAG的距離為1？若存在，求出BG的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD⊥CD．
又PA∩AD=A
∴CD⊥平面PAD．
又∵CD平面PDC，
∴平面PDC⊥平面PAD．
（Ⅱ）解：設(shè)CD的中點(diǎn)為F，連接EF、AF．
∵E是PD中點(diǎn)，
∴EF∥PC．
∴∠AEF是異面直線AE與PC所成角或其補(bǔ)角．
由PA=AB=1，BC=2，計(jì)算得
，，，
，
∴異面直線AE與PC所成角的余弦值為．
（Ⅲ）解：假設(shè)在BC邊上存在點(diǎn)G，使得點(diǎn)D到平面PAG的距離為1．
設(shè)BG=x，過點(diǎn)D作DM⊥AG于M．
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DM，PA∩AG=A．
∴DM⊥平面PAG．
∴線段DM的長是點(diǎn)D到平面PAG的距離，即DM=1．
又，解得．
所以，存在點(diǎn)G且當(dāng)時(shí)，使得點(diǎn)D到平面PAG的距離為1．