已知橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)經(jīng)過如下五個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)：P1(-1，-
2
2
)，P2（0，1），P3(
1
2
，
2
2
)，P4(1，
2
2
)，P5（1，1）．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A為橢圓M的左頂點(diǎn)，B，C為橢圓M上不同于點(diǎn)A的兩點(diǎn)，若原點(diǎn)在△ABC的外部，且△ABC為直角三角形，求△ABC面積的最大值．
（Ⅰ）由
(
1
2
)2
a2
+
(
2
2
)2
b2
＜
(-1)2
a2
+
(-
2
2
)2
b2
=
12
a2
+
(
2
2
)2
b2
＜
12
a2
+
12
b2
，知P3(
1
2
，
2
2
)和P5（1，1）不在橢圓M上，即橢圓M經(jīng)過P1(-1，-
2
2
)，P2（0，1），P4(1，
2
2
)．
于是a2=2，b2=1．
所以橢圓M的方程為：
x2
2
+y2=1．…（2分）
（Ⅱ）①當(dāng)∠A=90°時(shí)，設(shè)直線BC：x=ty+m，
由
x2+2y2=2
x=ty+m
得（t2+2）y2+2tmy+（m2-2）=0．
設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），則△=16-8m2+8t2＞0，
y1+y2=-
2tm
t2+2
y1y2=
m2-2
t2+2

所以kABkAC=
y1
x1+
2
•
y2
x2+
2
=
y1y2
(ty1+m+
2
)(ty2+m+
2
)

=
y1y2
t2y1y2+t(m+
2
)(y1+y2)+(m+
2
)2
=
m-
2
2(m+
2
)
=-1．
于是m=-
2
3
，此時(shí)△=16-
16
9
+8t2＞0，
所以直線BC：x=ty-
2
3
．
因?yàn)?span >y1y2=-
16
9
t2+2
＜0，故線段BC與x軸相交于M(-
2
3
，0)，
即原點(diǎn)在線段AM的延長(zhǎng)線上，即原點(diǎn)在△ABC的外部，符合題設(shè)．…（6分）
所以S△ABC=
1
2
|AM|•|y1-y2|=
2
3
|y1-y2|=
2
9
[(y1+y2)2-4y1y2]
=
2
9
[(
2
3
2
t
t2+2
)2-4(-
16
9
t2+2
)]

=
16
81
×
9t2+16
(t2+2)2
=
16
81
(4-
4t4+7t2
t4+4t2+4
)
≤
8
9
．
當(dāng)t=0時(shí)取到最大值
8
9
．…（9分）
②當(dāng)∠A≠90°時(shí)，不妨設(shè)∠B=90°．
設(shè)直線AB：x=ty-
2
(t≠0)，由
x2+2y2=2
x=ty-
2
得(t2+2)y2-2
2
ty=0．
所以y=0或y=
2
2
t
t2+2
．
所以B(
2
t2-2
2
t2+2
，
2
2
t
t2+2
)，由AB⊥BC，可得直線BC：y=-tx+
2
t3
t2+2
．
由
x2+2y2=2
y=-tx+
2
t3
t2+2
得(t2+2)(2t2+1)y2-2
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)橢圓方程為x2+
y2
4
=1，過點(diǎn)M（0，1）的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足
OP
=
1
2
(
OA
+
OB
)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(
1
2
，
1
2
)，當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求：
（1）動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）|
NP
|的最小值與最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
4
+
y2
3
=1，過橢圓的右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓交于點(diǎn)A、B，定直線x=4交x軸于點(diǎn)K，直線KA和直線KB的斜率分別是k1、k2．
（1）若直線l的傾斜角是45°，求線段AB的長(zhǎng)；
（2）求證：k1+k2=0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

矩形ABCD的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊AB與x軸平行，AB=8，BC=6．E，F(xiàn)，G，H分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，R，S，T是線段OF的四等分點(diǎn)，R′，S′，T′是線段CF的四等分點(diǎn)．設(shè)直線ER與GR′，ES與GS′，ET與GT′的交點(diǎn)依次為L(zhǎng)，M，N．
（1）求以HF為長(zhǎng)軸，以EG為短軸的橢圓Q的方程；
（2）根據(jù)條件可判定點(diǎn)L，M，N都在（1）中的橢圓Q上，請(qǐng)以點(diǎn)L為例，給出證明（即證明點(diǎn)L在橢圓Q上）．
（3）設(shè)線段OF的n（n∈N+，n≥2）等分點(diǎn)從左向右依次為Ri（i=1，2，…，n-1），線段CF的n等分點(diǎn)從上向下依次為Ti（i=1，2，…，n-1），那么直線ERi（i=1，2，…，n-1）與哪條直線的交點(diǎn)一定在橢圓Q上？（寫出結(jié)果即可，此問不要求證明）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，梯形ABCD的底邊AB在y軸上，原點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，|AB|=
4
2
3
，|CD|=2-
4
2
3
，AC⊥BD．M為CD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）過M作AB的垂線，垂足為N，若存在正常數(shù)λ0，使
MP
=λ0
PN
，且P點(diǎn)到A、B的距離和為定值，求點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（Ⅲ）過（0，
1
2
）的直線與軌跡E交于P、Q兩點(diǎn)，求△OPQ面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，上頂點(diǎn)M（0，b），△MF1F2為正三角形且周長(zhǎng)為6，直線l：x=my+4與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求
OA
•
OB
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，拋物線y2=2
5
x的焦點(diǎn)是雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(1，
3
)，又知直線l：y=kx+1與雙曲線C相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若
OA
⊥
OB
，求實(shí)數(shù)k值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)雙曲線C的焦點(diǎn)在y軸上，離心率為
2
，其一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，1）．
（Ⅰ）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線l與該雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，且A、B的中點(diǎn)為（2，3），求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A與AF垂直的直線分別交橢圓C與x軸正半軸于點(diǎn)P、Q，且
AP
=
8
5
PQ
．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若過A、Q、F三點(diǎn)的圓恰好與直線l：x+
3
y+3=0相切，求橢圓C的方程．

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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