Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（x）=2f（

1

x

），當x∈[1，3]時，f（x）=lnx，若在區(qū)間[

1

3

，3]內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-ax（a＞0）恰有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先求出x∈[

1

3

，3]時f（x）的解析式，再研究f（x）-ax=0在區(qū)間[

1

3

，3]上的零點個數(shù)，即此時y=f（x）與y=ax交點的個數(shù)，注意數(shù)形結(jié)合．

解答： 解：設(shè)x∈[

1

3

，1]，則

1

x

∈[1，3]
又因為：函數(shù)f（x）滿足f（x）=2f（

1

x

），當x∈[1，3]時，f（x）=lnx，
所以f（x）=2f(

1

x

)=2ln

1

x

，x∈[

1

3

，1]
所以f（x）=

2ln 1 x ，x∈[ 1 3 ，1] lnx，x∈(1，3]

，
g（x）=f（x）-ax（a＞0）恰有三個零點，即在[

1

3

，3]內(nèi)f（x）的圖象與y=ax有三個交點，如圖所示：
當直線y=ax介于直線l₁（過原點和（3，ln3）的直線）和直線l₂（當x∈[1，3]時y=lnx的過原點的切線）
易知kl1=

ln3

3

，
設(shè)y=lnx過原點的切線切點為（a，lna），則y′=

1

x

，所以切線斜率為

1

a

，所以切線為y-lna=

1

a

(x-a)，又因為過原點，所以lna=1，所以a=e∈[1，3]
故kl2=

1

e

，
故實數(shù)a的范圍是[

ln3

3

，

1

e

)
故答案為：[

ln3

3

，

1

e

)

點評：本題的解題思路充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合的思想，即把根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點問題，再進一步轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點的問題，做出圖象直觀的判斷，再進行計算．本題難度較大．