Question

已知sinα+cosα=

1

2

，且α∈（0，π）．
（1）求

cos2α

sin(α+ π 4 )

的值；
（2）求1+

sin2α

sin(α+ π 4 )

的值；
（3）求tanα的值．

Answer 1

考點：同角三角函數基本關系的運用

專題：三角函數的求值

分析：（1）已知等式兩邊平方，利用完全平方公式變形求出sinαcosα的值，再利用完全平方公式求出sinα-cosα的值，原式分子利用二倍角的余弦函數公式化簡，第二項利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，約分后將sinα-cosα的值代入計算即可求出值；
（2）原式第二項分子利用二倍角的正弦函數公式化簡，分母利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值；
（3）求出sinα與cosα的值，即可確定出tanα的值．

解答： 解：（1）將sinα+cosα=

1

2

，兩邊平方得：（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=

1

4

，即sinαcosα=-

3

8

，
∵α∈（0，π），∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα-cosα＞0，
∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=

7

4

，即sinα-cosα=

7

2

，
∴原式=

cos2α-sin2α

2 2 (sinα+cosα)

=

(cosα+sinα)(cosα-sinα)

2 2 (sinα+cosα)

=

2

（cosα-sinα）
=-

2

（sinα-cosα）=-

14

2

；
（2）∵sinαcosα=-

3

8

，sinα+cosα=

1

2

，
∴原式=1+

2sinαcosα

2 2 (sinα+cosα)

=1+

- 3 4

2 2 × 1 2

=1-

3 2

2

；
（3）∵sinα+cosα=

1

2

，sinα-cosα=

7

2

，
∴sinα=

7 +1

4

，cosα=

1- 7

4

，
則tanα=

sinα

cosα

=

7 +1

1- 7

=-

4+ 7

3

．

點評：此題考查了同角三角函數基本關系的運用，熟練掌握基本關系是解本題的關鍵．