Question

自點A(－3，3)發(fā)出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線m所在直線與圓C：x²＋y²－4x－4y＋7=0相切，求光線l與m所在直線的方程.

Answer 1

解:圓C：x²＋y²－4x－4y＋7=0的標準方程為(x－2)²＋(y－2)²=1，

圓C關(guān)于x軸的對稱圓C′的方程為(x－2)²＋(y＋2)²=1.

設光線l所在直線的方程為y－3=k(x＋3).

依題意，它是圓C′的切線，從而點C′到直線l的距離為1，即=1.

解得k=－或k=－.

∴光線l所在直線的方程為y－3=－ (x＋3)或y－3=－(x＋3)，即3x＋4y－3=0或   4x＋3y＋3=0.

同理可求過點A′(－3，－3)的圓C的切線方程3x－4y－3=0或4x－3y＋3=0為所求光線m所在直線的方程.

點評:本例復習了直線方程的點斜式、圓的切線方程的求法、點到直線的距離公式、配方法化圓的一般方程為標準方程及研究入射光線和反射光線問題時常用的找對稱點或?qū)ΨQ圖形的方法.解題時需注意的問題是：直線的點斜式適用于斜率存在的情況.由圖知此題中，入射光線所在直線應有兩條，若k只有一解，應考慮k不存在的情況.