Question

如圖，已知半徑為r的圓M的內接四邊形ABCD的對角線AC和BD相互垂直且交點為P．

（1）若四邊形ABCD中的一條對角線AC的長度為d（0＜d＜2r），試求：四邊形ABCD面積的最大值；
（2）試探究：當點P運動到什么位置時，四邊形ABCD的面積取得最大值，最大值為多少？
（3）對于之前小題的研究結論，我們可以將其類比到橢圓的情形．如圖2，設平面直角坐標系中，已知橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的內接四邊形ABCD的對角線AC和BD相互垂直且交于點P．試提出一個由類比獲得的猜想，并嘗試給予證明或反例否定．

Answer 1

分析：（1）因為對角線互相垂直的四邊形ABCD面積S=

|AC|•|BD|

2

，由于|AC|=d為定長，當|BD|最大時，四邊形ABCD面積S取得最大值．由圓的性質，垂直于AC的弦中，直徑最長，由此能求出四邊形ABCD面積的最大值．
（2）由題意，當點P運動到與圓心M重合時，對角線AC和BD的長同時取得最大值|AC|=|BD|=2r，由此能求出四邊形ABCD面積S取得最大值，最大值為2r²．
（3）類比猜想1：若對角線互相垂直的橢圓內接四邊形ABCD中的一條對角線長確定時，當且僅當另一條對角線通過橢圓中心時，該橢圓內接四邊形面積最大；類比猜想2：當點P在橢圓中心時，對角線互相垂直的橢圓內接四邊形ABCD的面積最大；以上兩個均為正確的猜想，要證明以上兩個猜想，都需先證：橢圓內的平行弦中，過橢圓中心的弦長最大．類比猜想3：當點P•在橢圓中心，且橢圓內接四邊形的兩條互相垂直的對角線恰為橢圓長軸和短軸時，四邊形面積取得最大值2ab．要證明此猜想，也需先證“橢圓內的平行弦中，過橢圓中心的弦長最大．”

解答：解：（1）因為對角線互相垂直的四邊形ABCD面積S=

|AC|•|BD|

2

，
而由于|AC|=d為定長，
則當|BD|最大時，四邊形ABCD面積S取得最大值．由圓的性質，垂直于AC的弦中，直徑最長，
故當且僅當BD過圓心M時，四邊形ABCD面積S取得最大值，最大值為dr．
（2）由題意，不難發(fā)現，當點P運動到與圓心M重合時，對角線AC和BD的長同時取得最大值|AC|=|BD|=2r，
所以此時四邊形ABCD面積S取得最大值，最大值為2r²．
（3）類比猜想1：若對角線互相垂直的橢圓內接四邊形ABCD中的一條對角線長確定時，當且僅當另一條對角線通過橢圓中心時，該橢圓內接四邊形面積最大．
類比猜想2：當點P在橢圓中心時，對角線互相垂直的橢圓內接四邊形ABCD的面積最大．
以上兩個均為正確的猜想，要證明以上兩個猜想，都需先證：橢圓內的平行弦中，過橢圓中心的弦長最大．
證：設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），平行弦MN的方程為y=kx+m，
聯立可得b²x²+a²（kx+m）²-a²b²=0?（b²+a²k²）x²+2kma²x+m²a²-a²b²=0
不妨設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
則|MN|=

1+k2

|x1-x2|
=

1+k2

•

( -2kma2 b2+a2k2 )2-4 m2a2-a2b2 b2+a2k2

=

1+k2

b2+a2k2

•

4k2m2a4-4(m2a2-a2b2)(b2+a2k2)

=

1+k2

b2+a2k2

•

4a2b2(a2k2+b2-m2)

由于平行弦的斜率k保持不變，故可知當且僅當m=0時，即當直線經過原點時，
|MN|取得最大值|MN|=2ab

1+k2

b2+a2k2

（*）．特別地，當斜率不存在時，此結論也成立．
由以上結論可知，類比猜想一正確．又對于橢圓內任意一點P構造的對角線互相垂直的橢圓內接四邊形，我們都可以將對角線平移到交點與橢圓中心O重合的橢圓內接四邊形A₁B₁C₁D₁，而其中|AC|≤|A₁C₁|，|BD|≤|B₁D₁|，
所以必有SABCD≤SA1B1C1D1．即證明了猜想二也是正確的．
類比猜想3：當點P•在橢圓中心，且橢圓內接四邊形的兩條互相垂直的對角線恰為橢圓長軸和短軸時，四邊形面積取得最大值2ab．
要證明此猜想，也需先證“橢圓內的平行弦中，過橢圓中心的弦長最大．”在此基礎上，可參考以下兩種續(xù)證方法．
證法一：當點P在橢圓中心時，不妨設對角線AC所在直線的斜率為k．
（i）當k=0時，AC即為橢圓長軸，又AC⊥BD，故BD是橢圓的短軸．
所以此時橢圓內接四邊形ABCD的面積為S_ABCD=2ab．
（ii）當k≠0時，對角線BD的斜率為-

1

k

．由此前證明過程中的（*）可知，|AC|=2ab

1+k2

b2+a2k2

，
若將-

1

k

代換式中的k，則可得弦BD的長度，|BD|=2ab

1+ 1 k2

b2+ a2 k2

=2ab

1+k2

b2k2+a2

．
所以，SABCD=

1

2

|AC||BD|=2a2b2

1+k2

(b2+a2k2)(b2k2+a2)

=

2a2b2(k2+1)

[a2(k2+1)-(a2-b2)][b2(k2+1)+(a2-b2)]

=

2a2b2

(a2- a2-b2 k2+1 )(b2+ a2-b2 k2+1 )

=

2a2b2

a2b2+(a2-b2)2[ 1 k2+1 - 1 (k2+1)2 ]

=

2a2b2

a2b2-(a2-b2)2[( 1 k2+1 - 1 2 )2- 1 4 ]

由k²+1＞1?0＜

1

k2+1

＜1?(

1

k2+1

-

1

2

)2-

1

4

∈[-

1

4

，0)，
則SABCD=

2a2b2

a2b2-c4[( 1 k2+1 - 1 2 )2- 1 4 ]

＜

2a2b2

a2b2

=2ab，
綜上（i）和（ii），故可證明猜想三正確．
證法二：如圖，四邊形對角線交點P與橢圓中心重合．

由對稱性，不妨設橢圓上的點A的坐標為（acosα，bsinα），α∈[0，

π

2

)；
相鄰的點B坐標為（acosβ，bsinβ），β∈[

π

2

，π)．由對稱性可知，SABCD=4S△APB=2|

.

1 0 0 1 acosα bsinα 1 acosβ bsinβ

.

|=2ab|sin(α-β)|
且當β-α=

π

2

時，S_ABCD取得最大值2ab．
又因為OA⊥OB，故

OA

•

OB

=a2cosαcosβ+b2sinαsinβ=0．
由β-α=

π

2

?β=α+

π

2

，
所以

OA

•

OB

=-a2cosαsinα+b2sinαcosα=

1

2

sin2α(b2-a2)=0
故只有當sin2α=0時才滿足，
而因為α∈[0，

π

2

)，
故只有當α=0時成立．即由橢圓參數方程的定義，當且僅當點A和點B分別落在橢圓長軸和短軸頂點上時，猜想3正確．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行類比猜想．