Question

已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|．
（Ⅰ）若n=2，解不等式f（x）≥2；
（Ⅱ）若a＞1，?x∈R，f（x）+|x-1|≥1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對值不等式的解法

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=|x-1|+|x-2|=

-2x+3，x＜1 1，1≤x≤2 2x-3，x＞2

，解不等式f（x）≥2即可求得答案；

（Ⅱ）令F（x）=f（x）+|x-1|，則F（x）=

-3x+2+a，x＜1 x-2+a，1≤x＜a 3x-2-a，x≥a

函數(shù)先單調(diào)遞減，再單調(diào)增，從而可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=|x-1|+|x-2|=

-2x+3，x＜1 1，1≤x≤2 2x-3，x＞2

，
而f（x）≥2，解得x≤

1

2

或x≥

5

2

．
（Ⅱ）令F（x）=f（x）+|x-1|，則F（x）=

-3x+2+a，x＜1 x-2+a，1≤x＜a 3x-2-a，x≥a

∵y=F（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在[1，a）∪[a，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=1時(shí)，F(xiàn)（x）有最小值F（1）=a-1，
∴a-1≥1，解得a≥2，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查絕對值不等式的解法，分類討論去掉絕對值符號是關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．