Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)的圖像在點處的切線的傾斜角為45°，那么實數(shù)在什么范圍取值時，函數(shù)在區(qū)間（2，3）內(nèi)總存在極值？

（3）求證：．

 

Answer 1

（1）當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間（2，3）內(nèi)總存在極值；（3）令，此時，，由（1）知在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，即，所以對一切都成立.因為，所以，于是，所以

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【解析】

試題分析：（1）在求單調(diào)區(qū)間時首先要求出函數(shù)的定義域，然后對參數(shù)進(jìn)行分類討論即可得出答案；（2）點處的切線的傾斜角為45°，即切線斜率為1，即，可求值，代入得的解析式，由，且在區(qū)間上總不是單調(diào)函數(shù)可知：，，，于是可求的取值范圍．（3）令，此時，結(jié)合（1）可判斷對一切成立，進(jìn)而可得，即可證得結(jié)論．

試題解析：（1）因為，所以.

當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，減區(qū)間為.

（2）因為函數(shù)的圖像在點處的切線的傾斜角為45°，所以，于是，，所以，所以.要使函數(shù)在區(qū)間（2，3）內(nèi)總存在極值，所以只需，，解得，所以當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間（2，3）內(nèi)總存在極值.

（3）令，此時，，由（1）知在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，即，所以對一切都成立.因為，所以，于是，所以

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考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．