Question

已知f（x）=e^x-e^-x-2x．
（Ⅰ）證明：f（x）是奇函數(shù)；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）+e^-x，求g（x）在[0，2]上的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由奇函數(shù)的定義判斷即可；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求得函數(shù)的最值．

解答： （Ⅰ）證明：∵f（x）=e^x-e^-x-2x．
∴函數(shù)的定義域?yàn)镽，
又∵f（-x）=-e^x+e^-x+2x=-（e^x-e^-x-2x）=-f（x）．
∴函數(shù)f（x）=e^x-e^-x-2x是奇函數(shù)．
（Ⅱ）解：∵g（x）=f（x）+e^-x=e^x-2x，
∴g′（x）=e^x-2，
∴當(dāng)x∈[0，ln2]時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x∈（ln2，2]時(shí)，g′（x）＞0，
又g（0）=1，g（ln2）=2-2ln2，g（2）=e²-4，
∴g（x）_min=g（ln2）=2-2ln2，g（x）_max=g（2）=e²-4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇函數(shù)的判斷及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)最值等知識(shí)，屬于中檔題．