Question

如下圖所示，已知Rt△ABC所在平面外一點(diǎn)S，且SA＝SB＝SC

(1)求證：點(diǎn)S與斜邊AC中點(diǎn)D的連線SD⊥面ABC；

(2)若直角邊BA＝BC，求證：BD⊥面SAC

Answer 1

答案：
解析：

　　證明：(1)過(guò)S作SO⊥面ABC于O，∵SA＝SB＝SC，

　　∴O為△ABC的外心．

　　而△ABC為直角三角形，∴O為斜邊AC的中點(diǎn)，即O與D點(diǎn)重合．

　　∴SD⊥面ABC．

　　(2)∵BA＝BC，∴BD⊥AC

　　又SD⊥面ABC，∴SD⊥BD，即BD⊥SD．SD∩AC＝D，

　　∴BD⊥面SAC

提示：

對(duì)于第(1)問(wèn)可以先過(guò)S點(diǎn)作底面的垂線，再證垂足與O點(diǎn)重合即可．對(duì)于第(2)問(wèn)，可利用第(1)問(wèn)的結(jié)果，把線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直，即證BD⊥AC，BD⊥SD