在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與拋物線y2＝2x相交于A、B兩點(diǎn)．

(1)求證：“如果直線l過(guò)點(diǎn)T(3，0)，那么＝3”是真命題；

(2)寫出(1)中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說(shuō)明理由．

答案：
解析：

　　解：(1)設(shè)l：x＝ty＋3，代入拋物線y2＝2x，消去x得y2－2ty－6＝0．

　　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

　　∴y1＋y2＝2t，y1·y2＝－6．

　　＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋3)(ty2＋3)＋y1y2

　�。絫2y1y2＋3t(y1＋y2)＋9＋y1y2

　　＝－6t2＋3t·2t＋9－6＝3．

　　∴＝3，故為真命題．

　　(2)(1)中命題的逆命題是：若＝3，則直線l過(guò)點(diǎn)(3，0)，逆命題是假命題．

　　設(shè)l：x＝ty＋b，代入拋物線y2＝2x，消去x得y2－2ty－2b＝0．

　　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝2t，y1·y2＝－2b．

　　∵＝x1x2－y1y2

　�。�(ty1＋b)(ty2＋b)－y1y2

　�。絫2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2

　�。剑�2bt2＋bt·2t＋b2－2b＝b2－2b，令b2－2b＝3，得b＝3或b＝－1．

　　此時(shí)直線l過(guò)點(diǎn)(3，0)或(－1，0)．

　　故逆命題為假命題．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2
2
的圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在圓C上，且滿足PF=4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn)．若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是
3
5
，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是
12
13
，則sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若焦點(diǎn)在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的離心率為
1
2
，則m的值為
4
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設(shè)直線AC與BD的交點(diǎn)為P，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程（以t為參數(shù)）及普通方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•東莞一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1（-1，0），且橢圓C的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A1，A2，Q是橢圓C上異于A1，A2的任一點(diǎn)，直線QA1，QA2分別交x軸于點(diǎn)S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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同步練習(xí)冊(cè)答案