Question

如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分別為AB、PC的中點，∠PDA=45°，AB=2，AD=1．
（Ⅰ）求證：MN∥平面PAD；
（Ⅱ）求證：平面PMC⊥平面PCD；
（Ⅲ）求三棱錐M-PCD的體積．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）取PD的中點E，連結AE、EN，證明四邊形AMNE是平行四邊形，可得MN∥AE，利用線面平行的判定，即可得出結論；
（2）證明CD⊥平面PAD，可得CD⊥AE，利用∠PDA=45°，E為PD中點，證明AE⊥PD，從而AE⊥平面PCD，利用MN∥AE，可得MN⊥平面PCD，從而平面PMC⊥平面PCD；
（3）V_M-PCD=V_P-MCD=

1

3

S_△MCD•PA．

解答： （1）證明：如圖，取PD的中點E，連結AE、EN
則有EN∥CD∥AM，且EN=

1

2

CD=

1

2

AB=MA．
∴四邊形AMNE是平行四邊形．
∴MN∥AE．
∵AE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD；
（2）證明：∵PA⊥矩形ABCD所在的平面，CD，AD?矩形ABCD所在的平面，
∴PA⊥CD，PA⊥AD，
∵CD⊥AD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
又∵AE?平面PAD，
∴CD⊥AE，
∵∠PDA=45°，E為PD中點
∴AE⊥PD，
 又∵PD∩CD=D，
∴AE⊥平面PCD，
∵MN∥AE，
∴MN⊥平面PCD，
又∵MN?平面PMC，
∴平面PMC⊥平面PCD；                       
（3）解：V_M-PCD=V_P-MCD=

1

3

S_△MCD•PA=

1

3

•

1

2

•2•1•1=

1

3

．

點評：本題考查線面平行，面面垂直，考查三棱錐M-PCD的體積，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．