Question

已知定點A(-

3

，0)，B(

3

，0)，動點P（x，y）滿足：||AP|-|BP||=2；
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）直線mx-y+1=0與動點P的軌跡只有一個交點，求實數(shù)m的值．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用雙曲線的定義，可得動點P的軌跡方程；
（2）直線方程代入雙曲線方程，根據(jù)直線mx-y+1=0與動點P的軌跡只有一個交點，分類討論，即可求實數(shù)m的值．

解答： 解：（1）∵定點A(-

3

，0)，B(

3

，0)，動點P（x，y）滿足：||AP|-|BP||=2，
∴||AP|-|BP||=2＜|AB|=2

3

，
∴動點P的軌跡是A、B為焦點的雙曲線，且a=1，c=

3

，
∴b=

c2-a2

=

2

，
∴動點P的軌跡方程是x2-

y2

2

=1；
（2）由mx-y+1=0可得y=mx+1，
代入x2-

y2

2

=1，可得x2-

(mx+1)2

2

=1，
即（2-m²）x²-2mx-3=0．
①2-m²=0，即m=±

2

時，方程只有一個解，滿足題意；
②2-m²≠0時，△=4m²+12（2-m²）=0，解得m=±

3

，
綜上所述，m=m=±

2

或m=±

3

．

點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查直線與雙曲線的位置關系，考查學生的計算能力，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．