Question

（2012•武昌區(qū)模擬）平面區(qū)域D由以點(diǎn)A（1，3），B（5，2），C（3，1）為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部及邊界組成，若在D上有無窮多個(gè)點(diǎn)（x，y）使目標(biāo)函數(shù)z=x+my取得最大值，則m=（　�。�

• A．4
• B．-2
• C．-

  1

  2

  或

  1

  4

• D．-2或4

Answer 1

分析：分m＞0和m＜0時(shí)兩種情況加以討論，分別將目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線l進(jìn)行平移，可得它們與邊AB或BC重合時(shí)，在D上有無窮多個(gè)點(diǎn)（x，y）使目標(biāo)函數(shù)達(dá)最大值，由此結(jié)合直線斜率公式，不難得到m的值．

解答：解：①當(dāng)m＞0時(shí)，直線l：z=x+my的斜率為負(fù)數(shù)，
當(dāng)直線l越向上平移，目標(biāo)函數(shù)z的值越大，
若l與直線AB平行，將它向上平移至與AB重合，目標(biāo)函數(shù)z的達(dá)到最大值
此時(shí)AB上任意一點(diǎn)坐標(biāo)代入，都可得到z的最大值
k_AB=

2-3

5-1

=-

1

4

，得-

1

m

=-

1

4

，m=4
∴z=x+4y的最大值為13，線段AB上任意一點(diǎn)坐標(biāo)都是最優(yōu)解
②當(dāng)m＜0時(shí)，直線l：z=x+my的斜率為正數(shù)，
因?yàn)閦與直線l在y軸上的截距符號(hào)相反，所以當(dāng)直線l越向下平移，
目標(biāo)函數(shù)z的值越大，
若l與直線BC平行，將它向下平移至與BC重合，目標(biāo)函數(shù)z的達(dá)到最大值
此時(shí)BC上任意一點(diǎn)坐標(biāo)代入，都可得到z的最大值
k_BC=

1-2

3-5

=

1

2

，得-

1

m

=

1

2

，m=-2
∴z=x-2y的最大值為1，線段BC上任意一點(diǎn)坐標(biāo)都是最優(yōu)解
綜上所述，得m=-2或4
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題給出平面區(qū)域，求使目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解有無窮多個(gè)時(shí)參數(shù)m的值，著重考查了直線的斜率和簡單的性質(zhì)規(guī)劃等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．