Question

已知集合是正整數(shù)的一個排列，函數(shù)

 對于，定義：，，稱為的滿意指數(shù)．排列為排列的生成列；排列為排列的母列．

（Ⅰ）當時，寫出排列的生成列及排列的母列；

（Ⅱ）證明：若和為中兩個不同排列，則它們的生成列也不同；

（Ⅲ）對于中的排列，定義變換：將排列從左至右第一個滿意指數(shù)為負數(shù)的項調(diào)至首項，其它各項順序不變，得到一個新的排列．證明：一定可以經(jīng)過有限次變換將排列變換為各項滿意指數(shù)均為非負數(shù)的排列．

 

Answer 1

【答案】

(I) ，；（II）詳見解析；（III）詳見解析.

【解析】

試題分析：（I）弄懂已知條件中生成列、母列定義即可求解；（II）弄懂“對于，定義：，，稱為的滿意指數(shù)．”是解題的關(guān)鍵；（III）把握第(I)問，由特殊到一般，才能順利求(III).

試題解析：（Ⅰ）解：當時，排列的生成列為；         2分

排列的母列為．                          3分

（Ⅱ）證明：設(shè)的生成列是；的生成列是與．

從右往左數(shù)，設(shè)排列與第一個不同的項為與，即：，，，，．

顯然 ，，，，下面證明：．     5分

由滿意指數(shù)的定義知，的滿意指數(shù)為排列中前項中比小的項的個數(shù)減去比大的項的個數(shù)．

由于排列的前項各不相同，設(shè)這項中有項比小，則有項比大，從而．

同理，設(shè)排列中有項比小，則有項比大，從而．

因為 與是個不同數(shù)的兩個不同排列，且，

所以 ， 從而 ．

所以排列和的生成列也不同．                8分

（Ⅲ）證明：設(shè)排列的生成列為，且為中從左至右第一個滿意指數(shù)為負數(shù)的項，所以 ．              9分

進行一次變換后，排列變換為，設(shè)該排列的生成列為．  所以

      ．                  11分

因此，經(jīng)過一次變換后，整個排列的各項滿意指數(shù)之和將至少增加．

因為的滿意指數(shù)，其中，

所以，整個排列的各項滿意指數(shù)之和不超過，

即整個排列的各項滿意指數(shù)之和為有限數(shù)，

所以經(jīng)過有限次變換后，一定會使各項的滿意指數(shù)均為非負數(shù)．      13分

考點：1.分段函數(shù);2.數(shù)列新定義.