Question

7．如圖，AB是⊙O的直徑，AD，DE是⊙O的切線．AD，BE的延長線交于點C．
（1）求證：A、O、E、D四點共圓；
（2）若OA=$\sqrt{3}$CE，∠B=30°，求CD長．

Answer 1

分析 （1）連接EO，證明對角互補，可得A、O、E、D四點共圓；
（2）若OA=$\sqrt{3}$CE，∠B=30°，求出AC，AD，即可求CD長．

解答 （1）證明：連接EO   （1分）
∵AD，DE是⊙O的切線
∴∠DAO=∠DEO=90°，（2分）
∴∠DAO+∠DEO=180°，∠ADE+∠AOE=180°    （4分）
∴A、O、E、D四點共線．（5分）
（2）解：連接AE，
∵CE=1，∴AO=$\sqrt{3}$，AB=2$\sqrt{3}$    （6分）
∵AB是圓O的直徑，∴∠AEB=90°        
Rt△ABE中，∠B=30°，故AE=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，BE=3    （7分）
△ADE中，∠DAE=∠DEA=∠B=30°，
∴∠ADE=120°     （8分）
∴AD=$\frac{\frac{1}{2}AE}{cos30°}$=1    （9分）
又由切割線定理得AC²=CE•CB=1×4=4，∴AC=2
故CD=AC-AD=1．（10分）

點評 本題考查四點共圓的證明，考查切割線定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．