Question

14．如圖，側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AA₁+AB+AC=3，AB=AC=t（t＞0），P是側(cè)棱AA₁上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）當(dāng)AA₁=AB=AC時(shí)，求證：A₁C⊥BC₁；
（2）試求三棱錐P-BCC₁的體積V取得最大值時(shí)的t值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AC₁⊥A₁C，AB⊥AC，AB⊥AA₁，由此能證明A₁C⊥BC₁．
（2）推導(dǎo)出點(diǎn)P到平面BB₁C₁C的距離等于點(diǎn)A到平面BB₁C₁C的距離，從而三棱錐P-BCC₁的體積$V={V}_{P-BC{C}_{1}}$=${V}_{A-BC{C}_{1}}$=${V}_{{C}_{1}-ABC}$，再利用導(dǎo)數(shù)能求出三棱錐P-BCC₁的體積V取得最大值時(shí)的t值．

解答 證明：（1）∵AA₁⊥面ABC，∴AA₁⊥AC，AA₁⊥AB，
又∵AA₁=AC，∴四邊形AA₁C₁C是正方形，
∴AC₁⊥A₁C，
∵AB⊥AC，AB⊥AA₁，AA₁，AC?平面AA₁C₁C，AA₁∩AC=A，
∴A₁C⊥平面ABC₁，∴A₁C⊥BC₁．
解：（2）∵AA₁∥平面BB₁C₁C，
∴點(diǎn)P到平面BB₁C₁C的距離等于點(diǎn)A到平面BB₁C₁C的距離，
∴三棱錐P-BCC₁的體積：
$V={V}_{P-BC{C}_{1}}$=${V}_{A-BC{C}_{1}}$=${V}_{{C}_{1}-ABC}$=$\frac{1}{6}{t}^{2}（3-2t）$=$\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{1}{3}{t}^{3}$（0＜t＜$\frac{3}{2}$），
∴V′=-t（t-1），令V′=0，得t=1或t=0（舍），
當(dāng)t∈（0，1）時(shí)，V′＞0，函數(shù)V（t）是增函數(shù)，
當(dāng)t∈（1，$\frac{3}{2}$）時(shí)，V′＜0，函數(shù)V（t）是減函數(shù)，
∴當(dāng)t=1時(shí)，V_max=$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線、線面、面面的位置關(guān)系等基本知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力及運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等應(yīng)用意識(shí)．