【題目】(本小題滿分12分)己知函數(shù)f(x)=
(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;
(2)求證:當(dāng)x∈(0,1)時,f(x)>2
(3)設(shè)實數(shù)k使得f(x)>k對x∈(0,1)恒成立,求k的最大值.
【答案】(1) (2)詳見解析 (3)2.
【解析】
試題分析:(1)求導(dǎo):,利用導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率:,又 ,由點斜式得切線方程: (2)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,實質(zhì)利用導(dǎo)數(shù)求對應(yīng)函數(shù)最值:,令 ,只需證 (3)恒成立問題,一般利用變量分離轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值,這較繁且難,本題由(2)知時在(0,1)上恒成立,只需證明當(dāng)時,在(0,1)上不恒成立,這樣就簡單多了.
試題解析:(1)
(2),結(jié)論成立
(3)由(2)知時在(0,1)上恒成立
當(dāng)時,令則
當(dāng)時, ,即當(dāng)時,在(0,1)上不恒成立
k的最大值為2.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)且在處的切線與直線垂直.
(1)求實數(shù)值;
(2)若不等式對任意的實數(shù)及恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)設(shè),且數(shù)列的前項和為,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),已知點及線段,在線段上任取一點,線段長度的最小值稱為“點到線段的距離”,記為.
(1)設(shè)點,線段 ,求;
(2)設(shè), , , ,線段,線段,若點滿足,求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫出該函數(shù)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了保護環(huán)境,發(fā)展低碳經(jīng)濟,某單位在國家科研部門的支持下,進行技術(shù)攻關(guān),采用了新工藝,把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸,最多為600噸,月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為:y=x2-200x+80000,且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為100元.
該單位每月能否獲利?如果獲利,求出最大利潤;如果不獲利,則國家至少需要補貼多少元才能使該單位不虧損?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)舉行了一次“環(huán)保知識競賽”,全校學(xué)生參加了這次競賽,為了了解本次競賽成績情況,從中抽取了部分學(xué)生的成績(得分取正整數(shù),滿分為100分)作為樣本進行統(tǒng)計,請根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表(如圖所示),解決下列問題.
組別 | 分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
第1組 | [50,60) | 8 | 0.16 |
第2組 | [60,70) | a | ■ |
第3組 | [70,80) | 20 | 0.40 |
第4組 | [80,90) | ■ | 0.08 |
第5組 | [90,100] | 2 | b |
合計 | ■ | ■ |
(1)求出a,b的值;
(2)在選取的樣本中,從競賽成績是80分以上(含80分)的同學(xué)中隨機抽取2名同學(xué)到廣場參加環(huán)保知識的志愿宣傳活動.
①求所抽取的2名同學(xué)中至少有1名同學(xué)來自第5組的概率;
②求所抽取的2名同學(xué)來自同一組的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知中心在原點,焦點在軸上,離心率為的橢圓過點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓與軸的非負(fù)半軸交于點,過點作互相垂直的兩條直線,分別交橢圓于兩點,連接,求的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.
(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若c=,△ABC的面積為,求△ABC的周長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+b圖象上的點P(2,1)關(guān)于直線y=x的對稱點Q在函數(shù)g(x)=lnx+a上.
(Ⅰ)求函數(shù)h(x)=g(x)-f(x)的最大值;
(Ⅱ)對任意x1∈[1,e],x2∈,是否存在實數(shù)k,使得不等式成立,若存在,請求出實數(shù)k的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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