Question

已知函數(shù)f（x）=e^x，函數(shù)g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，h（x）=kx+b．
（Ⅰ）當(dāng)b=0時(shí)，若對(duì)?x∈（0，+∞）均有f（x）≥h（x）≥g（x）成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)h（x）的圖象與f（x）的圖象和g（x）的圖象均相切，切點(diǎn)分別為(x 1，ex1)和（x₂，g（x₂）），其中x₁＞0．
（1）求證：x₁＞1＞x₂；
（2）若當(dāng)x≥x₁時(shí)，關(guān)于x的不等式(ax2-x+1)ex+x≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)f（x）與g（x）圖象的對(duì)稱關(guān)系求出g（x），當(dāng)b=0時(shí)數(shù)形結(jié)合，令h（x）與f（x）、g（x）分別相切，此時(shí)求出k值即為最大、最小值．
（Ⅱ）（1）由所給條件知，此時(shí)h（x）為f（x）、g（x）的公切線，則兩切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)相等，且與其連線斜率也相等，再結(jié)合x(chóng)₁＞0即可證明．
      （2）先把x₁、x₂當(dāng)作常數(shù)，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化函數(shù)最值問(wèn)題，再把x₁、x₂當(dāng)作變量用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值即可解決．

解答：（Ⅰ）解：因?yàn)楹瘮?shù)g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，所以g（x）=lnx．
當(dāng)b=0時(shí)，h（x）=kx，當(dāng)f（x）與y=kx相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為（x₁，ex1），則有ex1=

ex1

x1

=k，∴x₁=1，k=e．
當(dāng)g（x）與y=kx相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為（x₂，lnx₂），則

1

x2

=

lnx2

x2

=k，∴x₂=e，k=

1

e

．
 因?yàn)閷?duì)?x∈（0，+∞）均有f（x）≥h（x）≥g（x）成立，據(jù)圖象有

1

e

≤k≤e，
故實(shí)數(shù)k的取值范圍為 [

1

e

，e]．
（Ⅱ）（1）由題意得

ex1= 1 x2 ex1-lnx2 x1-x2 =ex1

，
∵x₁＞0，∴ex1=

1

x2

＞1，∴0＜x₂＜1．
由

ex1-lnx2

x1-x2

=ex1得ex1(x1-x2-1)=-lnx2，
∵0＜x₂＜1，∴-lnx₂＞0，∴x₁-x₂-1＞0，x₁＞x₂+1＞1．
綜上，x₁＞1＞x₂．
（2）∵x₁＞1＞x₂＞0，∴關(guān)于x的不等式(ax2-x+1)ex+x≤0恒成立，即ax₂≤-xe^-x+x-1恒成立，
令m（x）=-xe^-x+x-1，則m′（x）=（x-1）e^-x+1，當(dāng)x≥x₁＞1時(shí)，m′（x）＞0，所以m（x）單調(diào)遞增，m（x）≥m（x₁）=-x1e-x1+x1-1．
所以ax₂≤-x1e-x1+x1-1，a≤

-x1e-x1+x1-1

x2

，又

1

x2

=ex1，所以a≤-x₁+（x₁-1）ex1，
令n（x₁）=-x₁+（x₁-1）ex1，則n′（x₁）=-1+x1ex1，因?yàn)閤₁＞1，所以n′（x₁）＞0，n（x₁）單調(diào)遞增，n（x₁）＞n（1）=-1，所以a≤-1．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為：a≤-1．

點(diǎn)評(píng)：本題屬函數(shù)恒成立問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，難度大，對(duì)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力要求較高．