【題目】若拋物線的焦點為,是坐標(biāo)原點,為拋物線上的一點,向量軸正方向的夾角為60°,且的面積為.

1)求拋物線的方程;

2)若拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點,點在拋物線上,求當(dāng)取得最大值時,直線的方程.

【答案】(1) ;(2)

【解析】

(1)先設(shè)的坐標(biāo)為,根據(jù)向量軸正方向的夾角為60°,可得出,再利用三角形的面積公式可求得的值即可求出拋物線的方程;

(2) 先設(shè)的坐標(biāo)為,利用兩點間的距離公式分別求出,,再利用基本不等式求出取得最大值時點的坐標(biāo),即可求出直線的方程.

(1))設(shè)的坐標(biāo)為,(如圖)

因為向量軸正方向的夾角為60°,

所以,

根據(jù)拋物線定義得:,

,解得:,

解得:即拋物線的方程為:;

(2) 設(shè)的坐標(biāo)為,,則

,

因為點在拋物線上,即有:

所以,

,

因此

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,

此時,,

所以直線的方程為:

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1)求;

2)該同學(xué)發(fā)現(xiàn):該品牌暖水瓶盛不同體積的熱水時,保溫效果不同.為了研究保溫效果最好時暖水瓶的盛水體積,做以下實驗:把盛有最大盛水量的水的暖水瓶倒出不同體積的水,并記錄水瓶內(nèi)不同體積水在不同時刻的水溫,發(fā)現(xiàn)水溫(單位:℃)與時刻滿足線性回歸方程,通過計算得到下表:

倒出體積

0

30

60

90

120

擬合結(jié)果

倒出體積

150

180

210

450

擬合結(jié)果

注:表中倒出體積(單位:)是指從最大盛水量中倒出的那部分水的體積.其中:

.對于數(shù)據(jù),可求得回歸直線為,對于數(shù)據(jù),可求得回歸直線為

(。┲赋的實際意義,并求出回歸直線的方程(參考數(shù)據(jù):);

(ⅱ)若的交點橫坐標(biāo)即為最佳倒出體積,請問保溫瓶約盛多少體積水時(盛水體積保留整數(shù),且3.14)保溫效果最佳?

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(注:在截口曲線上任取一點,過作圓錐的母線,分別與兩個球相切于點,由相切的幾何性質(zhì)可知,,,于是,為橢圓的幾何意義)

A.B.C.D.

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