Question

數列{a_n}中，a_n+1+a_n=3n-54（n∈N^*）．
（1）若a₁=-20，求{a_n}的通項公式a_n；
（2）設S_n為{a_n}的前n項和，當a₁＞-27時，求S_n的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用題設遞推式表示出a_n+2+a_n+1，兩式相減求得a_n+2-a_n為常數，進而判斷出a₁，a₃，a₅，與a₂，a₄，a₆，都是d=3的等差數列，進而分別看n為奇數和偶數時利用疊加法和等差數列求和公式求得答案．
（2）分別看n為奇數和偶數時表示出S_n，利用二次函數的性質分別求得其最小值，最后綜合可得答案．

解答：解：（1）∵

an+1+an=3n-54 an+2+an+1=3n-51

，兩式相減得a_n+2-a_n=3，
∴a₁，a₃，a₅，…，與a₂，a₄，a₆，…都是d=3的等差數列
∵a₁=-20
∴a₂=-31，
①當n為奇數時，an=-20+(

n+1

2

-1)×3=

3n-43

2

；
②當n為偶數時，an=-31+(

n

2

-1)×3=

3n-68

2

；
（2）①當n為偶數時，S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）++（a_n-1+a_n）
=（3×1-54）+（3×3-54）++[3（n-1）-54]=3[1+3+5++（n-1）]-

n

2

×54=

3

4

n2-27n=

3

4

(n-18)2-243，
∴當n=18時，（S_n）_min=-243；
②當n為奇數時，S_n=a₁+（a₂+a₃）++（a_n-1+a_n）=

3

4

n2-27n+

105

4

+a1=

3

4

(n-18)2-216

3

4

+a1，
∴當n=17或19時（S_n）_min=a₁-216＞-243；綜上，當n=18時（S_n）_min=-243．

點評：本題主要考查了數列的求和問題，求數列的通項公式，以及數列與函數思想的綜合．