【題目】已知函數(shù)在處取得極值.
(1)求常數(shù)k的值;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值;
(3)設,且, 恒成立,求的取值范圍.
【答案】(1);(2)當x<0或x>4,f(x)為增函數(shù),0≤x≤4,f(x)為減函數(shù);極大值為,極小值為(3)
【解析】
試題(1)因為函數(shù)兩個極值點已知,令,把0和4代入求出k即可.
(2)利用函數(shù)的導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,大于零和小于零分別求出遞增和遞減區(qū)間即可,把函數(shù)導數(shù)為0的x值代到f(x)中,通過表格,判斷極大、極小值即可.
(3)要使命題成立,只需,由(2)得:和其中較小的即為g(x)的最小值,列出不等關系即可求得c的取值范圍.
試題解析:
(1),由于在處取得極值,
∴
可求得
(2)由(1)可知,,
的變化情況如下表:
x | 0 | ||||
+ | 0 | - | 0 | + | |
極大值 | 極小值 |
∴當為增函數(shù),為減函數(shù);
∴極大值為極小值為
(3) 要使命題, 恒成立,只需使,即即可.只需
由(2)得在單增,在單減.
∴,
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)已知函數(shù),函數(shù)的導函數(shù)為.
①求函數(shù)的定義域;
②求函數(shù)的零點個數(shù).
(2)給出如下定義:如果是曲線和曲線的公共點,并且曲線在點處的切線與曲線在點處的切線重合,則稱曲線與曲線在點處相切,點叫曲線和曲線的一個切點.試判斷曲線:與曲線:是否在某點處相切?若是,求出所有切點的坐標;若不是,請說明理由.
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【題目】已知曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以原點O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,過極點的兩射線、相互垂直,與曲線C分別相交于A、B兩點(不同于點O),且的傾斜角為銳角.
(1)求曲線C和射線的極坐標方程;
(2)求△OAB的面積的最小值,并求此時的值.
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【題目】某研究所計劃利用“神舟十號”宇宙飛船進行新產(chǎn)品搭載實驗,計劃搭載新產(chǎn)品甲,乙,要根據(jù)該產(chǎn)品的研制成本、產(chǎn)品重量、搭載實驗費用和預計產(chǎn)生收益來決定具體安排,通過調(diào)查,有關數(shù)據(jù)如表:
產(chǎn)品甲(件) | 產(chǎn)品乙(件) | ||
研制成本與搭載費用之和(萬元/件) | 200 | 300 | 計劃最大資金額3000元 |
產(chǎn)品重量(千克/件) | 10 | 5 | 最大搭載重量110千克 |
預計收益(萬元/件) | 160 | 120 |
試問:如何安排這兩種產(chǎn)品的件數(shù)進行搭載,才能使總預計收益達到最大,最大收益是多少?
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【題目】已知橢圓:的左、右焦點分別為,,過且與軸垂直的直線被橢圓和圓截得的弦長分別為2和.
(1)求的標準方程;
(2)已知動直線與拋物線:相切(切點異于原點),且與橢圓相交于,兩點,問:橢圓上是否存在點,使得,若存在求出滿足條件的所有點的坐標,若不存在,請說明理由.
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【題目】某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn),以下五個式子的值都等于同一個常數(shù):
①;
②;
③;
④;
⑤;
(1)試從上述五個式子中選擇一個,求出這個常數(shù);
(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果,將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論.
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【題目】下列關于空間向量的命題中,正確的有______.
①若向量,與空間任意向量都不能構(gòu)成基底,則;
②若非零向量,,滿足,,則有;
③若,,是空間的一組基底,且,則,,,四點共面;
④若向量,,,是空間一組基底,則,,也是空間的一組基底.
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