已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，其右焦點F2與拋物線y2=4
3
x的焦點重合，且橢圓短軸的兩個端點與F2構成正三角形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C的中心作一條直線與其相交于P，Q兩點，當四邊形PF1QF2面積最大時，求
PF1
•
PF2
的值．
分析：（1）拋物線的焦點坐標為(
3
，0)，故c=
3
，由短軸的兩個端點與F2構成正三角形，知a=2b，由此能夠導出橢圓的方程．
（2）設P點坐標為（x0，y0），由橢圓的對稱性知，S四邊形PF1QF2=S△PF1F2+S△QF1F2=2S△PF1F2=2×
1
2
×F1F2×|yP|，當四邊形PF1QF2面積最大時，P，Q兩點分別位于短軸兩個端點，由對稱性能夠導出
PF1
•
PF2
的值．
解答：解：（1）由題，拋物線的焦點坐標為(
3
，0)，故c=
3
…（2分）
又因為短軸的兩個端點與F2構成正三角形，所以a=2b，又a2=b2+c2得a=2，b=1
所以橢圓的方程為
x2
4
+y2=1…（7分）
（2）設P點坐標為（x0，y0），由橢圓的對稱性知，S四邊形PF1QF2=S△PF1F2+S△QF1F2=2S△PF1F2=2×
1
2
×F1F2×|yP|
當四邊形PF1QF2面積最大時，P，Q兩點分別位于短軸兩個端點，
由對稱性不妨設P（0，1）…（10分）
又F1(-
3
，0)，F2(
3
，0)則
PF1
=(-
3
，-1)，
PF2
=(
3
，-1)
所以
PF1
•
PF2
=(-
3
，-1)•(
3
，-1)=-3+1=-2…（16分）
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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