Question

3．已知函數(shù)f（x）=ax-|x+1|（x∈R）．
（1）設(shè)函數(shù)g（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）=f（x），求g（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）有最大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得出g（0）=0，再設(shè)x＜0，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解析式；
（2）要使函數(shù)f（x）有最大值，需$\left\{{\begin{array}{l}{a-1≤0，}&{\;}\\{a+1≥0，}&{\;}\end{array}}\right.$解出即可．

解答 解：（1）∵g（x）為定義在R上的奇函數(shù)，
∴g（-0）=-g（0），∴g（0）=0．
當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）=f（x）=（a-1）x-1
設(shè)x＜0，則-x＞0．
∴g（x）=-g（-x）=-（a-1）（-x）+1=（a-1）x+1，
∴$g（x）=\left\{{\begin{array}{l}{（a-1）x-1，}&{x＞0}&{\;}\\{0，}&{x=0}&{\;}\\{（a-1）x+1，}&{x＜0}&{\;}\end{array}}\right.$；
（2）$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{（a-1）x-1，}&{x≥-1}\\{（a+1）x+1，}&{x＜-1}\end{array}}\right.$注：范圍中的“=”兩段中均可以，但不能漏掉！
要使函數(shù)f（x）有最大值，需$\left\{{\begin{array}{l}{a-1≤0，}&{\;}\\{a+1≥0，}&{\;}\end{array}}\right.$
∴-1≤a≤1．
即當(dāng)a∈[-1，1]時(shí)，f（x）有最大值．
故a的取值范圍為[-1，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的奇偶性，解析式的求法，函數(shù)的最值，屬于中檔題．