在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),點(diǎn)P是動點(diǎn),且三角形的三邊所在直線
的斜率滿足.
(1)求點(diǎn)P的軌跡的方程;
(2)設(shè)Q是軌跡上異于點(diǎn)的一個點(diǎn),若,直線與交于點(diǎn)M,探究是否存點(diǎn)P使得和的面積滿足,若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
解:(1)設(shè)點(diǎn)為所求軌跡上的任意一點(diǎn),由得,,
整理得的方程為(且)!4分(注:不寫范圍扣1分)
(2)解法一、設(shè),
,,,即, ………6分
三點(diǎn)共線,與共線,∴,
由(1)知,故, ………8分
同理,由與共線,
∴,即,
由(1)知,故,…………9分
將,代入上式得,
整理得,由得, …………11分
由,得到,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090811304018039849/SYS201209081131103991831576_DA.files/image011.png">,所以,
由,得, ∴的坐標(biāo)為. …………14分
解法二、設(shè)由得,
故,即, ………6分
∴直線OP方程為: ①; …………8分
直線QA的斜率為:,
∴直線QA方程為:,即, ② …10分
聯(lián)立①②,得,∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為定值!11分
由,得到,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090811304018039849/SYS201209081131103991831576_DA.files/image011.png">,所以,
由,得, ∴的坐標(biāo)為. …………14分
【解析】考查向量知識在幾何中的運(yùn)用,實(shí)際上就是用坐標(biāo)表示向量,再進(jìn)行運(yùn)算;(Ⅱ)的關(guān)鍵是確定出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為定值.
(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)P(x,y)為所求軌跡上的任意一點(diǎn),則由kOP+kOA=kPA得從而就可以得到軌跡C的方程;
(2)設(shè)出點(diǎn)PQ,M的坐標(biāo),然后利用三點(diǎn)共線得到坐標(biāo)關(guān)系,進(jìn)而再由面積得到點(diǎn)P的坐標(biāo)。
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