Question

14．在極坐標(biāo)系中，過點(diǎn)M（2，0）的直線l與極軸的夾角α=$\frac{π}{6}$．
（1）將l的極坐標(biāo)方程寫成ρ=f（θ）的形式；
（2）在極坐標(biāo)系中，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以極軸為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系．若曲線C₂：$\left\{{\begin{array}{l}{x=3sinθ}\\{y=acosθ}\end{array}}$（θ為參數(shù)，a∈R）與直線l有一個(gè)公共點(diǎn)在y軸上，求a的值．

Answer 1

分析 （1）先得出直線l的直角坐標(biāo)方程，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出極坐標(biāo)方程．
（2）直線l的直角坐標(biāo)方程為：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2），令x=0，可得y=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．曲線C₂：$\left\{{\begin{array}{l}{x=3sinθ}\\{y=acosθ}\end{array}}$（θ為參數(shù)，a∈R），a≠0時(shí)化為：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1，把$（0，-\frac{2\sqrt{3}}{3}）$代入上述方程解出即可得出．a(chǎn)=0時(shí)，不滿足條件，舍去．

解答 解：（1）直線l的直角坐標(biāo)方程為：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2），化為極坐標(biāo)方程：ρcosθ-$\sqrt{3}ρsinθ$-2=0，可得：ρ=$\frac{2}{cosθ-\sqrt{3}sinθ}$=$\frac{-1}{sin（θ-\frac{π}{6}）}$．
（2）直線l的直角坐標(biāo)方程為：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2），令x=0，可得y=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
曲線C₂：$\left\{{\begin{array}{l}{x=3sinθ}\\{y=acosθ}\end{array}}$（θ為參數(shù)，a∈R），a≠0時(shí)化為：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1，
把$（0，-\frac{2\sqrt{3}}{3}）$代入上述方程可得：a=$±\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
a=0時(shí)，不滿足條件，舍去．
綜上可得：a=$±\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、橢圓的參數(shù)方程、直線與曲線的交點(diǎn)，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．