Question

8．已知a＞0，f（x）=a²lnx-x²+ax，若不等式e≤f（x）≤3e+2對(duì)任意x∈[1，e]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[e+1，$\frac{\sqrt{{6（e+1）}^{2}+2}-e}{2}$]．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)可求得f（x）的單調(diào)區(qū)間，由f（1）=-1+a≥e可得a≥e+1，從而可判斷f（x）在[1，e]上的單調(diào)性，得到f（x）的最大值，令其小于等于3e+2可得答案．

解答 解：f′（x）=$\frac{{a}^{2}}{x}$-2x+a=$\frac{-（2x+a）（x-a）}{x}$，
∵x＞0，又a＞0，
∴x∈（0，a）時(shí)f′（x）＞0，f（x）遞增；
x∈（a，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
又f（1）=-1+a≥e，
∴a≥e+1，
∴f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，
∴最大值為f（e）=a²-e²+ae≤3e+2，
解得：a≤$\frac{\sqrt{{6（e+1）}^{2}+2}-e}{2}$，
又a≥e+1，而e+1＜$\frac{\sqrt{{6（e+1）}^{2}+2}-e}{2}$，
∴a的取值集合是[e+1，$\frac{\sqrt{{6（e+1）}^{2}+2}-e}{2}$]，
故答案為：[e+1，$\frac{\sqrt{{6（e+1）}^{2}+2}-e}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 該題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查轉(zhuǎn)化思想，利用f（1）=-1+a≥e得a的范圍是解題關(guān)鍵．