Question

（本小題滿分12分）
為了加快經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，某市選擇A、B兩區(qū)作為龍頭帶動周邊地區(qū)的發(fā)展，決定在A、B兩區(qū)的周邊修建城際快速通道，假設(shè)A、B兩區(qū)相距個單位距離，城際快速通道所在的曲線為E，使快速通道E上的點到兩區(qū)的距離之和為4個單位距離.

（Ⅰ）以線段AB的中點O為原點建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求城際快速通道所在曲線E的方程；
（Ⅱ）若有一條斜率為的筆直公路l與曲線E交于P，Q兩點，同時在曲線E上建一個加油站M（橫坐標(biāo)為負(fù)值）滿足,求面積的最大值．                               

Answer 1

（Ⅰ） ；（Ⅱ）面積的最大值為.

本試題主要是考查了圓錐曲線的 定義法求解軌跡方程，然后結(jié)合直線與橢圓的位置關(guān)系和點到線的距離和三角形的面積公式得到求解。
（1）因為設(shè)點T為曲線E上的任意一點，則|TA|+|TB|=4，|AB|=2，結(jié)合橢圓的定義得到曲線方程。
（2）設(shè)出直線PQ的方程與橢圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于x的一元二次方程，然后結(jié)合韋達(dá)定理和點到直線的距離公式表示出三角形的面積得到結(jié)論。
解：（Ⅰ）設(shè)點為曲線上的任意一點，則
所以曲線的軌跡為橢圓，，所以橢圓方程為  ………4分
（Ⅱ）設(shè)直線PQ的方程為,設(shè)
代入橢圓方程并化簡得,             
由,可得 .    ()      …………………5分
由,
故.                 ………………………………7分         
又，且的橫坐標(biāo)又為負(fù)值，所以點的坐標(biāo)為  
所以點到的距離為,                       ……………………………9分
故,
當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號(滿足式)
所以面積的最大值為.                  …………………………………12分