Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{b_n}中，b₁=a₁，b_n=a_n-a_n-1（n≥2），若a_n+S_n=n．
（1）設(shè)c_n=a_n-1，求證：數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)a_n+S_n=n求出a₁的值，再由a_n+1+S_n+1=n+1和a_n+S_n=n兩式相減可得到2（a_n+1-1）=a_n-1，即

an+1-1

an-1

=

1

2

，再由c_n=a_n-1可得到數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列，得證．
（2）先根據(jù)數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，然后由b_n=a_n-a_n-1可得到b_n的通項(xiàng)公式．

解答：（1）證明：∵a₁=S₁，a_n+S_n=n，∴a₁+S₁=1，得a₁=

1

2

．
又a_n+1+S_n+1=n+1，兩式相減得2（a_n+1-1）=a_n-1，即

an+1-1

an-1

=

1

2

，
也即

cn+1

cn

=

1

2

，故數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列．
（2）解：∵c₁=a₁-1=-

1

2

，
∴c_n=-

1

2n

，a_n=c_n+1=1-

1

2n

，a_n-1=1-

1

2n-1

．
故當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=a_n-a_n-1=

1

2n-1

-

1

2n

=

1

2n

．
又b₁=a₁=

1

2

，即b_n=

1

2n

（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的證明和求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．