已知兩個不共線的向量
a
b
滿足
a
=(1,
3
),
b
=(cosθ,sinθ)(θ∈R)

(1)若2
a
-
b
a
-7
b
垂直,求向量
a
b
的夾角;
(2)當(dāng)θ∈[0,
π
2
]
時,若存在兩個不同的θ使得|
a
+
3
b
|=|m
a
|
成立,求正數(shù)m的取值范圍.
分析:(1)利用條件2
a
-
b
a
-7
b
垂直,建立方程關(guān)系,先求
a
b
,然后求向量夾角.
(2)利用三角函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于θ的方程,結(jié)合三角函數(shù)的圖象進(jìn)行化簡求范圍.
解答:解:(1)∵2
a
-
b
a
-7
b
垂直,∴(2
a
-
b
)•(
a
-7
b
)=0,
2
a
2
+7
b
2
-15
a
?
b
=0

a
=(1,
3
),
b
=(cosθ,sinθ)(θ∈R)
,
|
a
|=2,|
b
|=1

22+7-15
a
?
b
=0
,
解得
a
?
b
=1
,
∴設(shè)向量
a
b
的夾角為θ,則cos?θ=
a
?
b
|
a
|?|
b
|
=
1
2×1
=
1
2
,
θ=
π
3

(2)∵
a
=(1,
3
),
b
=(cosθ,sinθ)(θ∈R)
,
|
a
|=2,|
b
|=1
,
a
?
b
=cos?θ+
3
sin?θ=2sin?(θ+
π
6
)
,
|
a
+
3
b
|=|m
a
|
,得
a
2
+2
3
a
?
b
+3
b
2
=m2
a
2
,
4m2=7+4
3
sin?(θ+
π
6
)

θ∈[0,
π
2
]
,
π
6
≤θ+
π
6
3

則要存在兩個不同的θ使得|
a
+
3
b
|=|m
a
|
成立,
π
3
≤θ+
π
6
3
θ+
π
6
π
2

此時
3
2
≤sin?(θ+
π
6
)<1

13≤7+4
3
sin?(θ+
π
6
)<7+4
3
,
13≤4m2<7+4
3
,
13
4
m2
7+4
3
4
=(
2+
3
2
)
2
,
∵m>0,
13
2
≤m<
2+
3
2
點評:本題主要考查平面向量的數(shù)量積以及利用向量和三角函數(shù)之間的關(guān)系的化簡和求值,綜合性較強,運算量較大.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知兩個不共線的向量a,b滿足a+2xb=xa+yb,那么實數(shù)x,y的值分別是(  )
A、0,0B、1,2C、0,1D、2,1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知兩個不共線的向量
a
,
b
,它們的夾角為θ,且|
a
|=3
,|
b
|=1
,x為正實數(shù).
(1)若
a
+2
b
a
-4
b
垂直,求tanθ;
(2)若θ=
π
6
,求|x
a
-
b
|
的最小值及對應(yīng)的x的值,并判斷此時向量
a
x
a
-
b
是否垂直?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知兩個不共線的向量
a
,
b
,它們的夾角為θ,且|
a
|=3
,|
b
|=1
,若
a
+
b
a
-4
b
垂直,則sin(θ+
π
6
)
=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知兩個不共線的向量
a
,
b
的夾角為θ,且|
a
|=3,|
b
|=1,x為正實數(shù).
(1)若
a
+2
b
a
-4
b
垂直,求tanθ;
(2)若θ=
π
6
,求|x
a
-
b
|的最小值及對應(yīng)的x的值,并指出此時向量
a
與x
a
-
b
的位置關(guān)系;
(3)若θ為銳角,對于正實數(shù)m,關(guān)于x的方程|x
a
-
b
|=|m
a
|有兩個不同的正實數(shù)解,且x≠m,求m的取值范圍.

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