Question

5．已知f（x）=log₃x．
（1）若關(guān)于x的方程f（ax）•f（ax²）=f（3）的解都在區(qū)間（0，1）內(nèi)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若f（x²-2ax+3）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析 （1）令t=log₃x，若方程f（ax）•f（ax²）=f（3）的解都在區(qū)間（0，1）內(nèi)，則方程$2{t}^{2}+3{log}_{3}a•t+{{log}_{3}}^{2}a-1=0$有兩個負(fù)根，進(jìn)而得到答案；
（2）若f（x²-2ax+3）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，則t=x²-2ax+3在[2，+∞）上單調(diào)遞增，且函數(shù)值恒為正，進(jìn)而得到答案；

解答 解：（1）f（ax）•f（ax²）=f（3）可化為：（log₃x+log₃a）（2log₃x+log₃a）=1，
令t=log₃x，則（t+log₃a）（2t+log₃a）=1，即$2{t}^{2}+3{log}_{3}a•t+{{log}_{3}}^{2}a-1=0$，
∵△=${{log}_{3}}^{2}a+8＞0$恒成立，故原方程一定有兩個相異的根，
若方程f（ax）•f（ax²）=f（3）的解都在區(qū)間（0，1）內(nèi)，
則方程$2{t}^{2}+3{log}_{3}a•t+{{log}_{3}}^{2}a-1=0$有兩個負(fù)根，
∴$\left\{\begin{array}{l}-\frac{3{log}_{3}a}{2}＜0\\ \frac{{{log}_{3}}^{2}a-1}{2}＞0\end{array}\right.$，
即：log₃a＞1
解得：a＞3
（2）若f（x²-2ax+3）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
則t=x²-2ax+3在[2，+∞）上單調(diào)遞增，且函數(shù)值恒為正，
即$\left\{\begin{array}{l}a≤2\\ 4-4a+3＞0\end{array}\right.$，
解得：a＜$\frac{7}{4}$．

點評 本題考查的知識點是轉(zhuǎn)化思想，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．