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已知函數,其中是自然對數的底數,.

)求函數的單調區(qū)間;

時,試確定函數的零點個數,并說明理由.

 

【答案】

(Ⅰ)的單調減區(qū)間為;單調增區(qū)間為;(Ⅱ)詳見解析.

【解析】

試題分析:(Ⅰ)求導得,,因為,所以的解集為,即單調遞增區(qū)間;的解集為,即單調遞減區(qū)間;(Ⅱ)函數,令,得,顯然是一個零點,記,求導得,易知遞減;遞增,故的最小值,又,故,即,所以函數的零點個數1.

試題解析:(Ⅰ)解:因為,所以

,得變化時,的變化情況如下:

 

的單調減區(qū)間為;單調增區(qū)間為

(Ⅱ)解:結論:函數有且僅有一個零點. 理由如下:

,得方程 顯然為此方程的一個實數解.

所以是函數的一個零點. 時,方程可化簡為.設函數,則,令,得

變化時,的變化情況如下:

 

的單調增區(qū)間為;單調減區(qū)間為所以的最小值.

因為 所以,所以對于任意,,因此方程無實數解所以當時,函數不存在零點.綜上,函數有且僅有一個零點. 考點:1、導數在單調性上的應用;2、函數的極值和最值;3、函數的零點.

 

練習冊系列答案
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已知函數,其中是自然對數的底數.

1)求函數的零點;

2)若對任意均有兩個極值點,一個在區(qū)間內,另一個在區(qū)間外,

的取值范圍;

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已知函數,其中是自然對數的底數,.

函數的單調區(qū)間

時,求函數的最小值.

 

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(本小題滿分12分)

已知函數,其中是自然對數的底數,

(1)若,求曲線在點處的切線方程;

(2)若,求的單調區(qū)間;

(3)若,函數的圖象與函數的圖象有3個不同的交點,求實數的取值范圍.

 

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