已知函數,其中是自然對數的底數,.
(Ⅰ)求函數的單調區(qū)間;
(Ⅱ)當時,試確定函數的零點個數,并說明理由.
(Ⅰ)的單調減區(qū)間為;單調增區(qū)間為;(Ⅱ)詳見解析.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)求導得,,因為,所以的解集為,即單調遞增區(qū)間;的解集為,即單調遞減區(qū)間;(Ⅱ)函數,令,得,顯然是一個零點,記,求導得,易知時遞減;時遞增,故的最小值,又,故,即,所以函數的零點個數1個.
試題解析:(Ⅰ)解:因為,,所以.
令,得.當變化時,和的變化情況如下:
↘ |
| ↗ |
故的單調減區(qū)間為;單調增區(qū)間為.
(Ⅱ)解:結論:函數有且僅有一個零點. 理由如下:
由,得方程, 顯然為此方程的一個實數解.
所以是函數的一個零點. 當時,方程可化簡為.設函數,則,令,得.
當變化時,和的變化情況如下:
↘ |
| ↗ |
即的單調增區(qū)間為;單調減區(qū)間為.所以的最小值.
因為 , 所以,所以對于任意,,因此方程無實數解.所以當時,函數不存在零點.綜上,函數有且僅有一個零點. 考點:1、導數在單調性上的應用;2、函數的極值和最值;3、函數的零點.
科目:高中數學 來源: 題型:
(本小題滿分14分)已知函數(其中是自然對數的底數,為正數)
(I)若在處取得極值,且是的一個零點,求的值;(II)若,求在區(qū)間上的最大值;(III)設函數在區(qū)間上是減函數,求的取值范圍。
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源:2013-2014學年廣東華附、省高三上學期期末聯(lián)考理數學卷(解析版) 題型:解答題
已知函數,其中是自然對數的底數.
(1)求函數的零點;
(2)若對任意均有兩個極值點,一個在區(qū)間內,另一個在區(qū)間外,
求的取值范圍;
(3)已知且函數在上是單調函數,探究函數的單調性.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源:2013-2014學年北京市西城區(qū)高三上學期期末考試文科數學試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數,其中是自然對數的底數,.
(Ⅰ)求函數的單調區(qū)間;
(Ⅱ)當時,求函數的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源:2014屆河北省高三上學期一調考試文科數學試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數,其中是自然對數的底數,.
(1)若,求曲線在點處的切線方程;
(2)若,求的單調區(qū)間;
(3)若,函數的圖象與函數的圖象有3個不同的交點,求實數的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源:2014屆河北省石家莊市高二下學期期中考試文科數學試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知函數,其中是自然對數的底數,.
(1)若,求曲線在點處的切線方程;
(2)若,求的單調區(qū)間;
(3)若,函數的圖象與函數的圖象有3個不同的交點,求實數的取值范圍.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com