Question

【題目】已知點為坐標(biāo)原點，橢圓：（）過點，其上頂點為，右頂點和右焦點分別為，，且.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）直線交橢圓于，兩點（異于點），，試判定直線是否過定點？若過定點，求出該定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）直線過定點.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意得到，之間的關(guān)系式，再結(jié)合橢圓的性質(zhì)，即可求解；

（Ⅱ）先設(shè)出直線的方程，分類討論，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，分別利用斜率公式化簡求值進(jìn)行計算，得出直線的方程，即可得解.

（1）因為橢圓：（）過點，所以.①

又因為，所以.因為，所以.②

把②代入①中，解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（Ⅱ）直線過定點.

理由如下：當(dāng)直線與軸垂直時，設(shè)的方程為，

點，，.

因為，

所以，此時直線過橢圓的右頂點，

與已知直線交橢圓于，兩點矛盾；

當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)的方程為，點，.

聯(lián)立得，

則.

由韋達(dá)定理得，.

所以

.

又因為，所以，，所以存在，使成立.

此時直線的方程為，即，所以直線過定點.