Question

17．某工廠生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品所得利潤(rùn)分別是P（單位：萬(wàn)元）和Q（單位：萬(wàn)元），它們與投入資金t（單位：萬(wàn)元）的關(guān)系有經(jīng)驗(yàn)公式P=-$\frac{1}{3000}$t³+$\frac{3}{100}$t²，Q=$\frac{4}{5}$t，今將50萬(wàn)元資金投入經(jīng)營(yíng)A，B兩種產(chǎn)品，其中對(duì)A種產(chǎn)品投資為x（單位：萬(wàn)元），設(shè)經(jīng)營(yíng)A，B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)和為總利潤(rùn)y（單位：萬(wàn)元）．
（1）試建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出函數(shù)的定義域；
（2）當(dāng)x為多少時(shí)，總利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，對(duì)A種產(chǎn)品投資為x時(shí)，B種產(chǎn)品投資為50-x，利用公式P=-$\frac{1}{3000}$t³+$\frac{3}{100}$t²，Q=$\frac{4}{5}$t，可求經(jīng)營(yíng)A，B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)和關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）利用導(dǎo)數(shù)法，分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求總利潤(rùn)y的最大值．

解答 解：（1）由題意知，對(duì)A種產(chǎn)品投資為x時(shí)，B種產(chǎn)品投資為50-x，
A種產(chǎn)品所得利潤(rùn)P=-$\frac{1}{3000}$x³+$\frac{3}{100}$x²，
B種產(chǎn)品所得利潤(rùn)Q=$\frac{4}{5}$（50-x），…（2分）
所以y=P+Q=-$\frac{1}{3000}$x³+$\frac{3}{100}$x²+$\frac{4}{5}$（50-x），…（5分）
其中定義域是{x|0≤x≤50}     …（6分）
（2）由（1）知y=P+Q=-$\frac{1}{3000}$x³+$\frac{3}{100}$x²+$\frac{4}{5}$（50-x），{x|0≤x≤50}  
令y=f（x），所以f′（x）=-$\frac{1}{1000}$（x-20）（x-40）…（8分）
令f′（x）=0，所以x=20或x=40                   …（9分）
當(dāng)x∈[0，20）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)y=f（x）在[0，20）上是減函數(shù)，…（10分）
當(dāng)x∈（0，40）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)y=f（x）在（20，40）上是增函數(shù)，…（11分）
當(dāng)x∈（40，50]時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)y=f（x）在（40，50]上是減函數(shù)，…（12分）
所以當(dāng)=40時(shí)，函數(shù)y=f（x）取極大值$\frac{104}{3}$                      …（13分）
又因?yàn)閒（0）=40＞$\frac{104}{3}$                                …（14分）
所以當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)y=P+Q=-$\frac{1}{3000}$x³+$\frac{3}{100}$x²+$\frac{4}{5}$（50-x）取最大值40 …（15分）
答：當(dāng)x=0時(shí)，總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)40萬(wàn)元．    …（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查函數(shù)的最值，正確建立函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)求解是關(guān)鍵．