在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點P是第一象限內(nèi)曲線y=-x3+1上的一個動點,點P處的切線與兩個坐標(biāo)軸交于A,B兩點,則△AOB的面積的最小值為
 
分析:根據(jù)題意設(shè)出點P的坐標(biāo),求出曲線方程的導(dǎo)函數(shù),把點P的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)求出的導(dǎo)函數(shù)值即為切線的斜率,根據(jù)切點和斜率表示出切線的方程,分別令x=0和y=0求出切線與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo),由交點坐標(biāo)表示出△AOB的面積S,利用基本不等式即可求出面積的最小值時P橫坐標(biāo)的值,把此時P橫坐標(biāo)的值代入S中即可求出S的最小值.
解答:解:根據(jù)題意設(shè)P的坐標(biāo)為(t,-t3+1),且0<t<1,
求導(dǎo)得:y′=-3x2,故切線的斜率k=y′|x=t=-3t2,
所以切線方程為:y-(-t3+1)=-3t2(x-t),
令x=0,解得:y=2t3+1;令y=0,解得:x=
2t3+1
3t2

所以△AOB的面積S=
1
2
(2t3+1)•
2t3+1
3t2
=
1
6
(2t2+
1
t
2
,
設(shè)y=2t2+
1
t
=2t2+
1
2t
+
1
2t
≥3
32t2• 
1
2t
1
2t
,
當(dāng)且僅當(dāng)2t2=
1
2t
,即t3=
1
4
,即t=
3
1
4
取等號,
把t=
3
1
4
代入得:Smin=
3
32
4

故答案為:
3
32
4
點評:解本題的思路是設(shè)出切點P的坐標(biāo),求出曲線方程的導(dǎo)函數(shù),把P的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中求出切線的斜率,由切點坐標(biāo)和斜率寫出切線方程,求出切線與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo),進(jìn)而表示出三角形ABC的面積S,變形后利用基本不等式即可求出S最小時P橫坐標(biāo)的值,把此時P的橫坐標(biāo)代入S即可求出S的最小值.要求學(xué)生掌握求導(dǎo)法則以及會利用基本不等式求函數(shù)的最小值.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知圓心在直線y=x+4上,半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點O,橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a>0)
與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10.
(1)求圓C的方程;
(2)若F為橢圓的右焦點,點P在圓C上,且滿足PF=4,求點P的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A,B兩點.若點A的橫坐標(biāo)是
3
5
,點B的縱坐標(biāo)是
12
13
,則sin(α+β)的值是
16
65
16
65

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若焦點在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1
的離心率為
1
2
,則m的值為
4
4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•泰州三模)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A(0,1),B(0,-1),C(t,0),D(
3t
,0)
,其中t≠0.設(shè)直線AC與BD的交點為P,求動點P的軌跡的參數(shù)方程(以t為參數(shù))及普通方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•東莞一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦點為F1(-1,0),且橢圓C的離心率e=
1
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的上下頂點分別為A1,A2,Q是橢圓C上異于A1,A2的任一點,直線QA1,QA2分別交x軸于點S,T,證明:|OS|•|OT|為定值,并求出該定值;
(3)在橢圓C上,是否存在點M(m,n),使得直線l:mx+ny=2與圓O:x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點A、B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點M的坐標(biāo)及對應(yīng)的△OAB的面積;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案
闂備胶枪妤犲繘骞忛敓锟� 闂傚倸鍊搁崑濠囧箯閿燂拷