Question

在平面直角坐標(biāo)系中，由x軸的正半軸、y軸的正半軸、曲線y=e^x以及該曲線在x=a（a≥1）處的切線所圍成圖形的面積是（　　）

• A、e^a
• B、e^a-1
• C、

  1

  2

  e^a
• D、

  1

  2

  e^a-1

Answer 1

分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=a處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程，然后求出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用所圍成圖形的面積等于曲邊梯形ODBC的面積減去△ADB的面積，利用定積分求出曲邊梯形ODBC的面積，即可求出所求．

解答：解：∵y=e^x，∴y′=e^x，故曲線y=e^x在x=a處的斜率為e^a，切線方程為y-e^a=e^a（x-a），
令y=0得x=a-1≥0．如圖所示，點(diǎn)A（a-1，0），D（a，0），，B（a，e^a），兩坐標(biāo)軸的正半軸，
曲線y=e^x以及該曲線在x=a（a≥1）處的切線所圍成圖形的面積等于曲邊形ODBC的面積減去△ADB的面積，
曲邊形ODBC的面積為∫₀^ae^xdx=e^a-1，△ADB的面積為

1

2

|AD|．|DB|=

1

2

×[a-（a-1）]e^a=

1

2

e^a，
故所求的面積為e^a-1-

1

2

e^a=

1

2

e^a-1．
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及定積分的應(yīng)用，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題．