Question

已知數(shù)列{a_n}是由正數(shù)組成的等差數(shù)列，S_n是其前n項(xiàng)的和，并且a₃=5，a₄S₂=28．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求使不等式(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)≥a

2n+1

對一切n∈N*均成立的最大實(shí)數(shù)a；
（3）對每一個(gè)k∈N*，在a_k與a_k+1之間插入2^k-1個(gè)2，得到新數(shù)列{b_n}，設(shè)T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，試問是否存在正整數(shù)m，使T_m=2008？若存在求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出等差數(shù)列的等差為d，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，利用a₃=5，a₄•S₂=28求出d及表示出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）首先分離出參數(shù)a，然后記F(n)=

1

2n+1

(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)(1+

1

an

)，通過 F（n+1）和F（n）商大于1，確定F（n）隨n增大而增大，從而得到F（n）的最小值，進(jìn)而求出結(jié)果；
（3）首先求出在數(shù)列{b_n}中，a_m及其前面所有項(xiàng)之和，然后求出a₁₀＜2008＜a₁₁，再求出又a₁₀在數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)數(shù)，進(jìn)而求出m的值．

解答：解：（1）設(shè){a_n}的公差為d，由題意d＞0，且

a1+2d=5 (a1+3d)(2a1+d)=28

（2分）
a₁=1，d=2，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n-1（4分）
（2）由題意a≤

1

2n+1

(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)(1+

1

an

)對n∈N*均成立（5分）
記F(n)=

1

2n+1

(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)(1+

1

an

)
則

F(n+1)

F(n)

=

2n+2

(2n+1)(2n+3)

=

2(n+1)

4(n+1)2-1

＞

2(n+1)

2(n+1)

=1
∵F（n）＞0，∴F（n+1）＞F（n），∴F（n）隨n增大而增大（8分）
∴F（n）的最小值為F(1)=

2 3

3

∴a≤

2 3

3

，即a的最大值為

2 3

3

（9分）
（3）∵a_n=2n-1
∴在數(shù)列{b_n}中，a_m及其前面所有項(xiàng)之和為[1+3+5++（2m-1）]+（2+2²++2^m-1）=m²+2^m-2（11分）
∵10²+2¹⁰-2=1122＜2008＜11²+2¹¹-2=2156，即a₁₀＜2008＜a₁₁（12分）
又a₁₀在數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)數(shù)為：10+1+2++2⁸=521（14分）
且2008-1122=886=443×2，
所以存在正整數(shù)m=521+443=964使得S_m=2008（16分）

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列與不等式的綜合，綜合性強(qiáng)，難度較大．對于不等式恒成立問題通過轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值問題來解決．