Question

在數列{a_n}中，a1=1，an+1=

2a n

2+an

(n∈N*)，
（1）計算a₂，a₃，a₄
（2）猜想數列{a_n}的通項公式，并用數學歸納法證明．

Answer 1

分析：（1）由數列{a_n}的遞推公式依次求出a₂，a₃，a₄；
（2）根據a₁，a₂，a₃，a₄值的結構特點猜想{a_n}的通項公式，再用數學歸納法①驗證n=1成立，②假設n=k時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立．

解答：解：（1）：a2=

2a 1

2+a1

=

2

3

，a3=

2a 2

2+a2

=

2

4

，a4=

2a 3

2+a3

=

2

5

，
（2）：猜想an=

2

n+1

下面用數學歸納法證明這個猜想．①當n=1時，a₁=1，命題成立．
②假設n=k時命題成立，即ak=

2

k+1

當n=k+1時ak+1=

2a k

2+ak

=

2× 2 k+1

2+ 2 k+1

(把假設作為條件代入)=

4

2(k+1)+2

=

2

(k+1)+1

由①②知命題對一切n∈N^*均成立．

點評：本題是中檔題，考查數列遞推關系式的應用，數學歸納法證明數列問題的方法，考查邏輯推理能力，計算能力．注意在證明n=k+1時用上假設，化為n=k的形式．