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精英家教網如圖，已知O為△ABC的外心，a，b，c分別是角A、B、C的對邊，且滿足
CO
•
AB
=
BO
•
CA
．
（Ⅰ）證明：2a2=b2+c2； 
（Ⅱ）求
tanA
tanB
+
tanA
tanC
的值．
分析：（Ⅰ）取AB、AC的中點E、F，則根據三角形法則可得：
CO
•
AB
=
1
2
(
CB
+
CA
)•(
CB
-
CA
)=
1
2
(a2-b2)，同理
BO
•
CA
=
1
2
(c2-a2)；進而得到答案．
（Ⅱ）由題意可得：
tanA
tanB
+
tanA
tanC
=(
cosB
sinB
+
cosC
sinC
)•
sinA
cosA
，再結合兩角和與差的正余弦公式、正弦定理、余弦定理進行化簡即可求出答案．
解答：解：（Ⅰ）取AB、AC的中點E、F，
則
CO
•
AB
=(
CE
+
EO
)•
AB
=
CE
•
AB
=
1
2
(
CB
+
CA
)•(
CB
-
CA
)=
1
2
(a2-b2)…（精英家教網3分）
同理
BO
•
CA
=
1
2
(c2-a2)；
所以2a2=b2+c2．…（5分）
（Ⅱ）由題意可得：
tanA
tanB
+
tanA
tanC
=(
cosB
sinB
+
cosC
sinC
)•
sinA
cosA

=
sin(B+C)•sinA
sinB•sinC•cosA
=
a2
bc•
b2+c2-a2
2bc
=2…（10分）
點評：夾角此類問題的關鍵是熟練掌握向量的三角形法則，以及解三角形的正弦定理與余弦定理等有關三角形的常用知識點．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知⊙O與CA、CB相切于點A、B，OA=OB=2
3
cm，AB=6 cm，則∠ACB的度數為
 
．精英家教網

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•海淀區(qū)二模）如圖，已知⊙O的弦AB交半徑OC于點D，若AD=3，BD=2，且D為OC的中點，則CD的長為
2
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知O為△ABC的外心，a，b，c分別是角A、B、C的對邊，且滿足
CO
•
AB
=
BO
•
CA
．
（1）推導出三邊a，b，c之間的關系式；
（2）求
tanA
tanB
+
tanA
tanC
的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知O為△ABC內一點，D、E、F分別為邊 BC、CA及AB中點．

（1）求證：++=0是O為△ABC的重心的充要條件．

（2）求證：△ABC與△DEF重心重合．??

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