已知橢圓x2+
y2
3
=1的上、下頂點(diǎn)分別為A1和A2，M（x1，y）和N（-x1，y）是橢圓上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)．
（I）求直線(xiàn)A1M與A2N交點(diǎn)的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)F（0，2）的動(dòng)直線(xiàn)z與曲線(xiàn)C交于A、B兩點(diǎn)，
AF
=λ
FB
問(wèn)在y軸上是否存在定點(diǎn)E，使得
OF
⊥（
EA
-λ
EB
）？若存在，求出E點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：軌跡方程,直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系
專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）設(shè)出直線(xiàn)A1M與A2N的交點(diǎn)坐標(biāo)，求出橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，得到直線(xiàn)A1M與A2N的方程，兩式作積后再由點(diǎn)M在橢圓上整體消掉M的坐標(biāo)得直線(xiàn)A1M與A2N交點(diǎn)的軌跡C的方程；
（Ⅱ）假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)，由已知可知其斜率一定存在，設(shè)其斜率為k，再設(shè)出A，B，E的坐標(biāo)，聯(lián)立直線(xiàn)方程與雙曲線(xiàn)方程，利用根與系數(shù)關(guān)系求出A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，再分別求出
AF
、λ
FB
、
OF
、
EA
、
EB
的坐標(biāo)，結(jié)合已知
AF
=λ
FB
及
OF
⊥（
EA
-λ
EB
）即可求得E為定點(diǎn)．
解答： 解：（Ⅰ）設(shè)直線(xiàn)A1M與A2N的交點(diǎn)為P（x，y），
∵A1，A2是橢圓x2+
y2
3
=1的上、下頂點(diǎn)，
∴A1(0，
3
)，A2(0，-
3
)，
A1M：y-
3
=
y1-
3
x1
x，A2N：y+
3
=
y1+
3
-x1
x，
兩式相乘得y2-3=
y
2
1
-3
-
x
2
1
x2    ①．
而M（x1，y1）在橢圓x2+
y2
3
=1（x1≠0）上，
∴
x
2
1
+
y
2
1
3
=1，即
y
2
1
-3
-
x
2
1
=3，
代入①得y2-3=3x2．
又當(dāng)x=0時(shí)，不合題意，去掉頂點(diǎn)．
∴直線(xiàn)A1M與A2N的交點(diǎn)的軌跡C的方程是
y2
3
-x2=1(x≠0)；
（Ⅱ）假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)，由已知可知其斜率一定存在，設(shè)其斜率為k，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），E（0，y0），
由
y=kx+2
y2
3
-x2=1
，得（k2-3）x2+4kx+1=0（k2≠3），
x1+x2=
-4k
k2-3
，x1x2=
1
k2-3
．
AF
=(-x1，2-y1)，
FB
=(x2，y2-2)，
∵
AF
=λ
FB
，∴-x1=λx2，
∵x2≠0，∴λ=-
x1
x2
，
∵
OF
=(0，2)，
EA
=(x1，y1-y0)，
EB
=(x2，y2-y0)，
EA
-λ
EB
=(x1-λx2，y1-y0-λy2+λy0)，
又∵
OF
⊥(
EA
-λ
EB
)，∴
OF
•(
EA
-λ
EB
)=0，
∴0×（x1-λx2）+2×（y1-y0-λy2+λy0）=0，
即y1-y0-λy2+λy0=0．
將y1=kx1+2，y2=kx2+2，λ=-
x1
x2
代入上式并整理得2kx1x2+2（x1+x2）=（x1+x2）y0，
當(dāng)x1+x2≠0時(shí)，y0=
2kx1x2
x1+x2
+2=
2k
k2-3
-4k
k2-3
+2=
3
2
，
當(dāng)x1+x2=0時(shí)，k=0，2kx1x2+2（x1+x2）=（x1+x2）y0恒成立，
在y軸上存在定點(diǎn)E，使得
OF
⊥(
EA
-λ
EB
)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0，
3
2
)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線(xiàn)方程的求法，考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)間的關(guān)系，涉及直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)間的關(guān)系問(wèn)題，常采用聯(lián)立直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系求解，本題著重考查了“設(shè)而不求”的解題思想方法，考查了學(xué)生的整體運(yùn)算能力，是壓軸題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線(xiàn)l的方程為y=mx+2m，曲線(xiàn)C的方程為y=
4-x2
，直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C圍成的平面區(qū)域?yàn)镸，記Ω={(x，y)|
y≥0
y≤
4-x2
}，向區(qū)域Ω上隨機(jī)投一點(diǎn)D，點(diǎn)D落在區(qū)域M內(nèi)的概率為P（M）．（1）若m=1，求P（M）；
（2）若P(M)∈[
π-2
2π
，1]，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-1，則f（x+1）的遞增區(qū)間是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f（x）=mx2-4x+m-3的值恒為負(fù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

分別以雙曲線(xiàn)G：
x2
2
-
y2
2
=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以雙曲線(xiàn)G的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)作橢圓C．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，
2
)，在y軸上是否存在定點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M且斜率為k的動(dòng)直線(xiàn)l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，使以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)P，若存在，求出M的坐標(biāo)和△PAB面積的最大值；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，有一張長(zhǎng)為8，寬為4的矩形紙片ABCD，按如圖所示方法進(jìn)行折疊，使每次折疊后點(diǎn)B都落在AD邊上，此時(shí)記為B′（注：圖中EF為折痕，點(diǎn)F也可落在CD邊上）過(guò)點(diǎn)B′作B′T∥CD交EF于點(diǎn)T，求點(diǎn)T的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
4
x4-ax2+2x（a∈R）．
（Ⅰ）若a=
3
2
，求函數(shù)f（x）極值；
（Ⅱ）設(shè)F（x）=f′（x）+（2a-1）x2+a2x-2，若函數(shù)F（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線(xiàn)l與函數(shù)f（x）=1n x的圖象相切于點(diǎn)（1，0），且l與函數(shù)g（x）=
1
2
x2+mx+
7
2
（m＜0）圖象也相切．
（1）求直線(xiàn)l的方程及m的值；
（2）若h（x）=f（x+1）-g′（x），求函數(shù)h（x）的最大值；
（3）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，求證：f（1+a）-f（2）＜
a-1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

求導(dǎo)：
①y=log3x2
②y=23x．

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同步練習(xí)冊(cè)答案