Question

已知函數(shù)（a，b為常數(shù)），且方程f（x）-2x-1=0有兩個實數(shù)根分別為-1，-2
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當時，不等式c²+16＜f（x）+2c恒成立，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得（3-2a）x²-（a+2b）x-b=0，利用根與系數(shù)的關系可得 ，，解得a和b的值，即得f（x）的解析式．
（2）當時，令x-2=t，則，x=t+2，由基本不等式求得f（x）的最小值，故c²-2c+16＜f（x）_min，解不等式求出c的取值范圍．
解答：解：（1）∵f（x）-2x-1=0，∴，∴（3-2a）x²-（a+2b）x-b=0．
依題可得  ，，解之可得a=1，b=-2，故．
（2）當時，令x-2=t，則，x=t+2，則   
，當且僅當即t=2時等號成立．
因此，當時，f（x）_min=24．不等式c²+16＜f（x）+2c恒成立，等價于c²-2c+16＜f（x）_min，
 等價于 c²-2c+16＜24，等價于 c²-2c-8＜0，等價于-2＜c＜4．
故c的取值范圍為（-2，4）．
點評：本題考查函數(shù)的恒成立問題，求函數(shù)的解析式，基本不等式的應用，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，求出f（x）的最小
值是解題的關鍵．