Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=（m+1）x²﹣x（m≠﹣1）．
（I）若函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象在公共點(diǎn)P處有相同的切線，求實(shí)數(shù)m的值和P的坐標(biāo)；
（II）若函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M、N，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（III）在（II）的條件下，過線段MN的中點(diǎn)作x軸的垂線分別與f（x）的圖象和g（x）的圖象交于S、T點(diǎn)，以S點(diǎn)為切點(diǎn)作f（x）的切線l₁，以T為切點(diǎn)作g（x）的切線l₂，是否存在實(shí)數(shù)m，使得l₁l₂？如果存在，求出m的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（I）設(shè)函數(shù)y=f（x）與y=g（x）圖象的公共點(diǎn)為P（x₀，y₀），
則有l(wèi)nx₀=（m+1）x₀²﹣x₀①，
又在點(diǎn)P處有共同的切線，
∴，②
②代入①，得．
設(shè)．
所以，函數(shù)h（x）最多只有1個(gè)零點(diǎn)，觀察得x₀=1是零點(diǎn)，
故m=0．
此時(shí)，點(diǎn)P（1，0）；
（II）根據(jù)（I）知，當(dāng)m=0時(shí)，兩條曲線切于點(diǎn)P（1，0），
此時(shí)，變化的y=g（x）的圖象的對(duì)稱軸是x=，
而y=f（x）是固定不變的，如果繼續(xù)讓對(duì)稱軸向右移動(dòng)，即，
解得﹣1＜m＜0．
兩條曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
當(dāng)m＜﹣1時(shí)，開口向下，只有一個(gè)交點(diǎn)，顯然不合題意，所以，有﹣1＜m＜0；
（III）假設(shè)存在這樣的m，不妨設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且x₁＞_x2，
則MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為．
以S為切線的切線l₁的斜率，
以T為切點(diǎn)的切線l₂的斜率．
如果存在m，使得k_s=k_T，即．③
而且有l(wèi)nx₁=（m+1）x₁²﹣x₁和lnx₂=（m+1）x₂²﹣x₂．
如果將③的兩邊同乘以x₁﹣x₂，得
④，
即，
也就是．
設(shè)μ=，則有．
令（μ＞1），
則．
∵μ＞1，
∴h'（μ）＞0．因此，h（μ）在[1，+∞]上單調(diào)遞增，
故h（μ）＞h（1）=0．
∴⑤
∴④與⑤矛盾．
所以，不存在實(shí)數(shù)m使得l₁l₂．