Question

已知數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)和為Sn=

3

2

n2+

7

2

n? (n∈N*)．
（Ⅰ）求a₁，a₂；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（Ⅲ）如果數(shù)列{b_n}滿足a_n=log₂b_n，請證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求其前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)a₁=S₁求得a₁，再根據(jù)a₁+a₂=S₂求得a₂．
（Ⅱ）根據(jù)a_n=S_n-S_n-1，代入Sn=

3

2

n2+

7

2

n即可求得a_n．進(jìn)而根據(jù)求得a_n-a_n-1為常數(shù)說明數(shù)列{a_n}是以5為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列．
（Ⅲ）把a(bǔ)_n代入

bn+1

bn

求得結(jié)果為常數(shù)，可推知數(shù)列{b_n}等比數(shù)列．根據(jù)b1=2a1求得首項(xiàng)，根據(jù)

bn+1

bn

=8求得公比，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求得T_n．

解答：解：（Ⅰ）a₁=S₁=5，a1+a2=S2=

3

2

×22+

7

2

×2=13，
解得a₂=8．
（Ⅱ）當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=

3

2

[n2-(n-1)2]+

7

2

[n-(n-1)]=

3

2

(2n-1)+

7

2

=3n+2．
又a₁=5滿足a_n=3n+2，
∴a_n=3n+2?（n∈N^*）．
∵a_n-a_n-1=3n+2-[3（n-1）+2]=3（n≥2，n∈N^*），
∴數(shù)列{a_n}是以5為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列．
（Ⅲ）由已知得bn=2an（n∈N^*），
∵

bn+1

bn

=

2an+1

2an

=2an+1-an=23=8（n∈N^*），
又b1=2a1=32，
∴數(shù)列{b_n}是以32為首項(xiàng)，8為公比的等比數(shù)列．
∴Tn=

32(1-8n)

1-8

=

32

7

(8n-1)．

點(diǎn)評：本題主要考查了等比和等差數(shù)列的確定．關(guān)鍵是找到相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系．