如圖,已知橢圓
x2
m
+
y2
m-1
=1(2≤m≤5)
,過(guò)其左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓及其準(zhǔn)線的交點(diǎn)從左到右的順序?yàn)锳、B、C、D,設(shè)f(m)=||AB|-|CD||.
(1)求f(m)的解析式;
(2)求f(m)的最值.
分析:(1)由橢圓的方程可得準(zhǔn)線方程,進(jìn)而得到A,D的坐標(biāo),直線與橢圓的方程聯(lián)立可得△>0及其根與系數(shù)關(guān)系,和兩點(diǎn)間的距離公式,即可得到f(m);
(2)利用(1)及其反比例函數(shù)的單調(diào)性即可得出.
解答:解:(1)設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸、半短軸及半焦距依次為a、b、c,則a2=m,b2=m-1,c2=a2-b2=1.
∴橢圓的焦點(diǎn)為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),故直線的方程為y=x+1,
又橢圓的準(zhǔn)線方程為x=±
a2
c
,即x=±m(xù),
∴A(-m,-m+1),D(m,m+1)
聯(lián)立 
y=x+1
x2
m
+
y2
m-1
=1
,消去y得:(m-1)x2+m(x+1)2=m(m-1),
整理得:(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0,△=4m2-4(2m-1)(2m-m2)=8m(m-1)2
∵2≤m≤5,∴△>0恒成立,∴xB+xC=
-2m
2m-1

又∵A、B、C、D都在直線y=x+1上,∴|AB|=
2
|xA-xB|
=
2
(xB-xA)
,|CD|=
2
(xD-xC)
,
∴||AB|-|CD||=
2
|(xB+xC)-(xA+xD)|

又∵xA=-m?,xD=m,∴xA+xD=0.
∴||AB|-|CD||=
2
|xB+xC|
=
2
2
|m|
|2m-1|
=
2
2
m
2m-1
(2≤m≤5)

f(m)=
2
2
m
2m-1
,m∈[2,5]

(2)由f(m)=
2
2
m
2m-1
,可知f(m)=
2
2
2-
1
m
,又2-
1
2
≤2-
1
m
≤2-
1
5
,
f(m)∈[
10
2
9
,
4
2
3
]

故f(m)的最大值為
4
2
3
,此時(shí)m=2;f(m)的最小值為
10
2
9
,此時(shí)m=5.
點(diǎn)評(píng):本題可憐蟲(chóng)直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與橢圓的方程聯(lián)立可得△>0及其根與系數(shù)關(guān)系、兩點(diǎn)間的距離公式、反比例函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法,屬于難題.
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