Question

【題目】如圖，已知梯形中， ， ， ，四邊形為矩形， ，平面平面．

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；

（Ⅲ）在線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）

【解析】試題分析：（1）利用空間向量證明線面平行，一般轉化為對應平面法向量與直線垂直，先建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解出平面法向量，根據向量數量積證明垂直，最后根據線面平行判定定理證明，（2）求二面角，一般利用空間向量進行求解，先根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解出各面法向量，利用向量數量積求法向量夾角，最后根據二面角與向量夾角之間相等或互補

關系求解（3）研究線面角，一般利用空間向量進行列式求解參數，先根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解出各面法向量，利用向量數量積求法向量夾角，最后根據線面角與向量夾角之間互余關系列式求解參數.

試題解析：（Ⅰ）證明：取為原點， 所在直線為軸， 所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖，則， ， ， ，

∴， ，

設平面的法向量，

∴不妨設，

又，

∴，

∴，

又∵平面，

∴平面．

（Ⅱ）解：∵， ，

設平面的法向量，

∴不妨設，

∴，

∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為．

（Ⅲ）設 ， ，

∴，

∴，

又∵平面的法向量，

∴，

∴，

∴或．

當時， ，∴；

當時， ，∴．

綜上， ．